Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
• тензорное произведение УФУ' векторных расслоений У и У' с типичным
слоем УФУ' - тензорным произведением типичных слоев расслоений .У и У';
• г-кратное внешнее произведение (exterior product)
Д У = У л • ¦ • л У.
30
Глава 1. Дифференциальная геометрия
расслоения У с типичным слоем - г-кратным антисимметризованным тензорным
г
произведением Д V типичного слоя V расслоения Y,
• свертка
j: У 0 У* -> X х Ш
или
( ) : У х У* -> X х Е.
Пример 1.3.11. Дуальным к касательному расслоению ТМ -> М является кока-
сателъное расслоение (cotangent bundle) Т*М -> М. Оно обычно наделяется
атласом расслоенных голономных координат
(z\ iA),
., 0*" .
Z\ = rZu,
dz'x
которые представляют собой коэффициенты разложения кокасательных векторов
Т"М Э t* = z^dzx
относительно голономных базисов {dzx} кокасательных пространств к М,
дуальных к {<9Л}:
dxudza = ft.
Сечение ф кокасательного расслоения Т'М именуется ковекторным полем или
пфаффовой формой на М. В голономных координатах на Т*М оно имеет вид
Ф(г) = Ф|i(z)dzt'.
Диффеоморфизм многообразий / : М -* М' порождает соответствующий
изоморфизм кокасательных расслоений
T'f : Т*М -> Г*М',
задаваемый соотношением
Tf(t) j T'f(t,) =t jt,
для всех пар векторов t ? TZM и ковекторов t, ? Т*М. Могут быть
образованы всевозможные тензорные произведения
(0т*м) (r)(<§>Тм)
кокасательных и касательных расслоений. Они называются тензорными
расслоениями, а их сечения - п раз ковариантными и т раз
контравариантными тензорными полями
Ф = Фиу '-uZ (z)dzl,' 0 • - • 0 dzVn 0 0М| 0 • ¦ • 0 д"т.
?
Послойной метрикой или просто метрикой в слоях векторного расслоения Y ->
X называется глобальное сечение а расслоения У* 0 У* -> X. Она задает
билинейную форму
а(х) : У, х У, э (у, у') >-" а^(х)у'уп € К
§ 3. Расслоенные многообразия
31
на каждом слое расслоения Y. Метрика а называется невырожденной, если все
билинейные формы а(х) невырождены. Невырожденная метрика в векторном
расслоении Y однозначно определяет дуальную метрику в дуальном векторном
расслоении Y*. В целях упрощения обе такие метрики мы будем обозначать
одним и тем же символом. Метрика в касательном расслоении ТХ называется
метрикой на многообразии X.
Заметим, что сечения sv группового расслоения Y -> X над одним и тем же
открытым подмножеством U базы X образуют некоторую группу Gv относительно
операций поточечного умножения
(Su 0 s'u)(x) = Sl,(x)s'0.(x), х 6 и, и перехода к обратному ^
Su = J ° Su-
При этом единичным элементом группы Gv служит сечение еи = е\и. Ясно
однако, что, для сечений sv и Su>, заданных над разными подмножествами
базы X, операцию умножения нельзя определить. Поэтому все множество
сечений группового расслоения группой не является, но представляет собой
так называемый пучок сечений (sheaf of sections) (см. Приложение В). В
частности, мы будем иметь дело с пучком сечений ,7~(М) касательного
расслоения ТМ и пучком сечений -ТГ'(М) кокасательного расслоения Т*М над
многообразием М, а также пучками
тензорных полей на М.
Рассмотрим теперь касательные и кокасательные расслоения над
многообразиями, которые сами являются расслоениями. Естественно, что
такие касательные и кокасательные расслоения обладают некоторой
дополнительной структурой.
Пусть 7гу : TY -> Y - касательное расслоение над
многообразием Y, которое в
свою очередь является расслоением 7г : Y -> X над
многообразием X. При заданных
расслоенных координатах (хл, у') на Y, голономными координатами на TY
служат
/Л г • Л ¦ i\
(х ,у,х ,у),
где (хЛ, у1) - координаты на касательных пространствах к Y, заданные
относительно голономных базисов (<9Л; 9,}:
." 9уп дун . л
У =------------74 Н-гХ ,
ду1 дхх
дх- ,х
X = -X .
дхх
Расслоение TY естественным образом является также расслоением над X:
7Г о 7Гу : TY -> X,
а касательный морфизм Т-к к -к задает на нем еще и структуру расслоения
над ТХ:
32
Глава 1. Дифференциальная геометрия
В результате имеет место следующая коммутативная диаграмма
ГУ
ТХ
Пусть Ф - послойный морфизм (1.18) расслоения У -> X в расслоение У' ->
X' над / : X -> X'. Касательный морфизм к Ф имеет вид
ГФ : ГУ -> ГУ'
(х'\ у'г) о ГФ = (0"/V, с^Ф1*" + <Э,ФУ ).
Он представляет собой как линейный послойный морфизм над Ф, так и
послойный морфизм над Tf :
ТФ
ГУ -------- ГУ'
ТХ ТХ'
В частности, если У -> X - расслоение с алгебраической структурой, то
расслоение ГУ -> ТХ (1.24) наследует эту алгебраическую структуру,
задаваемую касательными морфизмами к морфизмам структуры (1.22) и (1.23).
Пример 1.3.12. Если У -> X векторное расслоение, то ГУ -> ТХ тоже
векторное расслоение. Если У -> X - аффинное расслоение, моделируемое над
векторным расслоением У -" I, то ГУ -> ТХ - тоже аффинное расслоение,
моделируемое над векторным расслоением ГУ -> ТХ. ?
Касательное расслоение ГУ -> У над расслоением У -> X обладает вложенным
векторным подрасслоением
УУ = КегГтг, задаваемым координатными условиями
• х п х = 0.
Это подрасслоение состоит только из векторов, касательных к слоям
