Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 1.4.7. Вертикально-значные горизонтальные 1-формы
о : Y -" Т*Х <g) VY,
Y
а = v\(y)dxx 0 dit
на Y именуются часто припаивающими формами (soldering forms). Например,
рассмотрим касательное расслоение ТХ. Имеет место вертикальное
расщепление
VTX = ТХ х ТХ.
44
Глава 1. Дифференциальная геометрия
На ТХ определена каноническая припаивающая форма
д
а = dxм (r)---.
дхм
При этом рг2 о а = 0 х - это каноническая тангенциально-значная 1-форма
на X из Примера 1.4.3, которую поэтому тоже часто называют припаивающей
формой. ?
Помимо тангенциально-значных форм, мы будем рассматривать на расслоениях
еще некоторые типы векторнозначных форм. Это дифференциальные формы на У,
которые представляют собой морфизмы
У^ДТ*У(r)ТХ, (1.42)
У
Ф = Л • ¦ • Л dxXr (r) д
И
У -> ДТ*У <8)У*У, (1.43)
Y
Ф = Ф\,...л,.i(y) dxX] Л • ¦ • Л dxXr (r) dy'.
Подчеркнем, что формы (1.42) не являются тангенциально-значными формами,
поскольку индуцированное на У расслоение У ххТХ не есть подрасслоение
касательного расслоения ТУ (см. точную последовательность (1.28а)). В
частности, к ним не применима операция (Р-М)-дифференцирования. В свою
очередь, формы (1.43) не являются внешними формами, поскольку
вертикальное кокасательное расслоение У'У не есть подрасслоение
кокасательного расслоения Т*У (см. точную последовательность (1.28Ь)), и
к ним не применима операция внешнего дифференцирования.
Пример 1.4.8. Формой типа (1.42) на расслоении 7г : У -> X является форма
7г*ф = л< (x)dxx' Л • • • Л dxXr (r)
индуцированная из тангенциально-значной формы ф на X. Формы ф и ж*ф имеют
одно и то же выражение в голономных координатах, и мы их будем обозначать
одним и тем же символом ф. В частности, мы будем иметь дело с формой
вх : У -> Т*Х0ТХ,
У
вх = dxx (r)
которая индуцирована на У из канонической тангенциально-значной формы вх
(1.38) на базе X. ?
В дальнейшем дифференциальные формы на расслоении У -> X всех приведенных
выше типов будут часто называться просто формами, а все горизонтальные п-
формы - горизонтальными плотностями.
§ 5. Многообразия струй
45
§5. Многообразия струй
Динамика классических полей, описываемых как сечения s тех или иных
расслоений Y -> X, математически строго формулируется на языке струй jxs
этих сечений, когда сечения в точке i?l отождествляются по их значениям и
значениям их частных производных до некоторого к-то порядка включительно.
Действительно, если полевые уравнения, например, содержат производные
полей не более второго порядка, нет особой необходимости различать эти
поля по значениям их высших производных. Однако только одного этого
наблюдения было бы недостаточно, чтобы развивать аппарат струй, не
обладай пространства струй рядом весьма привлекательных свойств.
Место, которое занимают пространства струй в дифференциальной геометрии,
и их применение в теории поля обусловлены следующим.
• Пространства струй сечений расслоений являются конечномерными
многообразиями, что позволяет описывать динамику полевых моделей на
конечномерных конфигурационных и фазовых пространствах.
• Многие объекты в теории струй выражаются через привычные
тангенциальнозначные формы, которыми легко оперировать.
• Над многообразием струй первого порядка существует каноническое
расщепление точных последовательностей (1.28а) и (1.28Ь), что лежит в
основе применения струй в теории связностей и в дифференциальной
геометрии в целом. Это приводит к появлению связностей и в описании
динамики полевых систем.
Имея в виду последующие приложения к теории поля, мы здесь ограничимся
формализмом струй в основном первого и второго порядков.
Пусть дано расслоение Y -> X. Рассмотрим классы эквивалентности j'xs, х ?
X, сечений s расслоения Y такие, что сечения s и s' принадлежат одному и
тому же классу эквивалентности j'xs тогда и только тогда, когда
в точке х. Класс эквивалентности j'xs называют струей сечений (jet) s в
точке х ? X. Обозначим J'Y множество всех струй сечений расслоения Y во
всех точках X.
Существует несколько эквивалентных способов, чтобы наделить множество
струй JlY структурой многообразия. Не будем здесь вдаваться в детали.
Результат получается следующий.
Предложение 1.5.1. Пусть Y -> X - расслоение с атласом расслоенных
координат (хх, у') (1.13). Множество струй J'Y, будучи наделенным
координатным атласом
Ts |Txx-Ts \тсх ¦
Другими словами, сечения из j[xs отождествляются по своим значениям
s'(x) = s'\x)
и значениям своих частных производных первого порядка
d^s'(x) = d^s'\x)
(хХ\ У , 3/а),
(хХ, У', yl)(j'xs) = (хх, s'(x), exs'(x)),
(1.44)
(1.45)
46
Г лава 1. Дифференциальная геометрия
удовлетворяет всем требованиям, которые мы договорились выше предъявлять
к многообразиям. Оно называется многообразием струй первого порядка или
просто многообразием струй (jet manifold) расслоения У. ?
В физической литературе координаты у'\ на J'Y часто называют координатами
скоростей или координатами производных, поскольку их преобразования
