Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
тгм : ТМ -* М - это расслоение. Оно называется касательным расслоением
(tangent bundle). Если задан координатный атлас Фм = {U<. ф<}
многообразия М, то в качестве атласа касательного расслоения обычно (но
вовсе не обязательно) выбирают соответствующий голономный атлас
(holonomic atlas)
9 = {Щ,ф(=Тф(}. (1.17)
Ассоциированной системой расслоенных координат на ТМ являются голономные
координаты (1.6). Функции перехода атласа (1.17) в этих координатах имеют
вид (1.7). ?
Расслоения можно вводить по-разному. Один из распространенных подходов
основывается на том факте, что всякое расслоение Y -* X однозначно
задается набором (.X, V, Ф), включающим базу X, типичный слой V и атлас
расслоения Ф. При этом расслоения (X, V, Ф) и (X, V, Ф') с одной и той же
базой, одним и тем же типичным слоем и разными, но эквивалентными
атласами - это суть одно и то же расслоение. Они называются
эквивалентными расслоениями.
Пример 1.3.4. Уже упоминавшийся открытый лист Мебиуса является
нетривиальным расслоением над окружностью S' с типичным слоем -
интервалом V =] - 1, 1[. Его стандартный атлас состоит из двух карт Ut х
V and U2 х V над покрытием
и, = {-? < JC < 7Г + е}, и2 = {ж - е < X < 27Г + е}, С/, П U2 = W, U W2
=] - ?, e[Li]jt - ?, it +?[,
26
Глава 1. Дифференциальная геометрия
с функцией перехода
g(X)'-v^-v, xeW,,
0(Х) : ц ^ ц, х е W2.
У кольца в тех же обозначениях функция перехода имеет вид
д(х) '¦ v >-> V.
?
Пример 1.3.5. Касательное расслоение ГМ над ш-мерным многообразием М из
Примера 1.3.3 можно определить как расслоение с базой М, типичным слоем
R'n и атласом расслоения Ф, эквивалентным некоторому голономному атласу
(1.17). Например, касательное расслоение над окружностью S1 тривиально и
диффеоморфно цилиндру. Касательное расслоение над сферой S1, координатный
атлас которой описан в Примере 1.2.1, уже не тривиально. Функции перехода
соответствующего голономного атласа на TS2 можно получить подстановкой
выражения (1.5) в (1.7):
у] ~ х2, . _ 2а;,у, .
(a:f + a/f)2 2:1 (х\ + у]УУи
2z,2/i . у] - х\ .
{x\ + y\)lXx (x\ + y]yVl'
Подчеркнем, что над многообразием М существуют и другие расслоения с
типичным слоем R"1, не эквивалентные ГМ. ?
Если строить расслоение, задавая его базу, типичный слой и атлас
расслоения, то выбрать области тривиализации для атласа расслоения
помогает тот факт, что любое расслоение над стягиваемой базой (когда
любая замкнутая линия стягиваема в точку) всегда тривиально. Здесь
существенным образом используется, что по соглашению все многообразия
считаются паракомпактными.
Расслоенное многообразие ж :Y -> X, поскольку ж - субмерсия, по
определению имеет локальное сечение над некоторой открытой окрестностью
всякой точки х 6 X. Если Y - расслоение, то оно с очевидностью допускает
сечение sc : С/с <-> Y над всякой своей областью тривиализации Uc. Если
на расслоенном многообразии Y задана система расслоенных координат (хх,
у'), то его сечения s характеризуются семействами локальных координатных
функций s' = у' о *¦ с соответствующими законами координатных
преобразований.
Сечение расслоенного многообразия Y-*Х представляет собой вложение su\U'-
^Y, т. е. его образом является вложенное подмногообразие в Y. Образ
глобального сечения s : X <-> К - это замкнутое вложенное
подмногообразие. Однако не всякое расслоение имеет глобальное сечение. В
силу соглашению о паракомпактности базы дифференцируемого расслоения, мы
можем использовать следующие две теоремы.
Теорема 1.3.1. Если расслоение Y -*¦ X имеет глобальное сечение, всякое
его локальное сечение над замкнутым вложенным подмногообразием базы X
может быть продолжено (хотя и не однозначно) до глобального сечения Y -*
X. ?
Теорема 1.3.2.. Всякое расслоение с типичным слоем Rm допускает
глобальное сечение. ?
§ 3. Расслоенные многообразия
27
Из Теоремы 1.3.2, в частности, следует, что касательное расслоение ТМ
всегда имеет глобальное сечение, например, (?^оз)(г) = 0. Лист Мебиуса из
Примера 1.3.4 тоже имеет глобальное сечение (v о s)(x) = 0.
Пример 1.3.6. Глобальное сечение и касательного расслоения ТМ над
многообразием М называется векторным полем на М. В голономных координатах
на ТМ оно имеет вид
u(z) = и^(г)д^.
Векторное поле называется неособым, если оно нигде не обращается в 0.
Неособые векторные поля существуют не на всяком многообразии. Например,
такое поле нельзя построить на сфере S2. О
В полевых моделях, как уже отмечалось, классические поля представляются
сечениями расслоенных многообразий. Как правило, это расслоения. Поэтому
в дальнейшем, за исключением некоторых случаев, мы ограничимся
рассмотрением именно расслоений, тем более, что все изложенное ниже,
будет справедливо и для расслоенных многообразий.
Как и в случае топологических расслоенных пространств, в качестве
морфизмов расслоений рассматриваются их послойные морфизмы
ф
Y -------- Y'
(1.18)
X -------!-^х'
В частности, если морфизм расслоений (1.18) - это послойное погружение
