Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
расслоения У, и называется вертикальным касательным расслоением (vertical
tangent bundle) над У, т. е. его слоями являются вертикальные
подпространства касательных пространств к У, натянутые на базисные
векторы {<9,}. Координатами на У У служат голономные координаты (а;\ уг,
у').
Выделение вертикального подрасслоения УУ тем более имеет смысл, что, если
дан послойный морфизм Ф : У -> У', то касательный морфизм ГФ отображает У
У С ГУ в УУ.' С ГУ'. Ограничение ГФ на вертикальное подрасслоение У У
называется вертикальным касательным морфизмом к Ф и обозначается У Ф. Это
линейный послойный
§ 3. Расслоенные многообразия
33
морфизм над Ф:
УФ
VY -------- VY'
ун о УФ = dj<f>'yj.
Во многих важных случаях вертикальные касательные расслоения устроены
следующим простым способом.
Говорят, что расслоение Y -> X допускает вертикальное расщепление
(vertical splitting), если вертикальное касательное расслоение VY -> Y
тривиально и имеет место изоморфизм
a:VY->YxY, (1.25)
Y X
где Y -> X некоторое векторное расслоение.
Пример 1.3.13. Для всякого векторного расслоения Y ское вертикальное
расщепление
VY = YxY.
х
Аффинное расслоение Y -> X, моделируемое над векторным расслоением Р ->
X, допускает каноническое вертикальное расщепление
VY = F х F. (1.27)
х
?
Расслоенные координаты у1 на расслоении Y называются подчиненными
вертикальному расщеплению (1.25), если соответствующие голономные
координаты на вертикальном касательном расслоении VY имеют вид
у = f о а,
где (ссм, у") - расслоенные координаты на Y. В этом случае координатные
преобразования у1 -> у" не зависят от координат уг. Например, системы
координат на векторных и аффинных расслоениях подчинены соответствующим
каноническим вертикальным расщеплениям (1.26), когда уг =уг, и (1.27),
когда уг = у'.
По примеру вертикального касательного расслоения, индуцированное
расслоение
YxTX
X
можно назвать горизонтальным расслоением над У. Слоями этого расслоения в
у 6 Y служат касательные пространства T"iy)X к X, но, в отличие от VY,
его элементы не являются касательными векторами к У. Другими словами, не
существует канонического
вложения Y э< ТХ в TY. В то же время имеет место каноническая сюръекция
х
7ГТ : TY -* Y х ТХ,
Y х
2 Зак- М85 (а;А, у1, ±А, у) (а;А, уг, ±А).
X существует канониче-(1-26)
34
Глава 1. Дифференциальная геометрия
Рассмотрим теперь кокасательное расслоение Т*У -* У над расслоением У ->
X. При заданных расслоенных координатах (хх, у') на У, голономными
координатами на Т'У являются
(х\ у\ хх, у{),
где (хх, у,) - координаты на кокасательных пространствах к У, заданные
относительно голономных базисов {dxx, dy'}, дуальных {дх, <9,}. Подобно
касательному расслоению ТУ, кокасательное расслоение Т*У является также
расслоением над X, но Т*У не образует расслоения над Т*Х, как это видно
из закона преобразований координат
, ду' дхх
' хи = У; Н ХХ.
м дх'"* дх'"
Вертикальное кокасательное расслоение V'Y -> У над У определяется как
векторное расслоение, дуальное вертикальному касательному расслоению VY -
> У. Однако, в отличие от вертикального подрасслоения VY касательного
расслоения ТУ, какого-либо канонического вложения У*У в кокасательное
расслоение Т*У над У не существует. Действительно, обозначим {dy1} базисы
слоев расслоения У*У, дульные базисам {д,} слоев расслоения У У. Их
преобразования
dy" =
ду1
отличаются от преобразований
dy =W* + a*
базисных элементов dy' слоев кокасательного расслоения Т*У. В то же время
имеет место каноническая сюръекция
Т*У -"У*У,
Y
xxdxx +у<ду' ^ y{dy'.
Полностью соотношения между расслоениями ТУ и УУ, а также между Т*У и У'У
можно представить в виде двух тонных последовательностей:
Q-*VY^TY-*Y хТХ-*0, (1.28а)
х
0-*У хТ*Х-->Т*У-*У*У->0, (1.28Ь)
х
где все отображения - это послойные морфизмы над У. Точность
последовательностей означает, что образ предыдущего отображения
содержится в ядре последующего. Сделаем два технических замечания.
• Ядром послойного морфизма Ф над X расслоения У -+ X в некоторое
векторное расслоение У' -" X называется прообраз
КегФ = Ф~'(0(Х))
в У образа 0(Х) С У' глобального нулевого сечения 0(х) = 0 векторного
расслоения У'.
§4. Дифференциальные формы
35
• В дальнейшем для упрощения выражений мы будем использовать символы ТХ и
Т*Х для обозначения любых индуцированных расслоений вида
Y х ТХ, Ух Т'Х.
х х
Точные последовательности (1.28а) и (1.28Ь) играют фундаментальную роль в
дифференциальной геометрии. Хотя ТХ над У не является каноническим
подрасслоени-ем TY, a V*Y не является каноническим подрасслоением Т*У,
могут существовать различные вложения
У х ТХTY,
х к
0А~0л+Гл(у)й, (L29)
и
V'Y^T'Y,
Y
dy' ^dy{ -T\(y)dx\ (1.30)
которые, как говорится, расщепляют точные последовательности (1.28а) и
(1.28Ь). Каждое такое расщепление по определению соответствует заданию
некоторой связности Г на расслоении У -" X (см. §1.6).
§ 4. Дифференциальные формы
Этот параграф посвящен векторным полям и различным типам дифференциальных
