Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
полностью идентичны координатным преобразованиям производных полевых
функций dxs'(x). То, что значения производных полевых функций выбираются
в качестве независимых координат, напоминает известный прием при решении
дифференциальных уравнений, когда производные переменных сами
рассматриваются как независимые переменные, что позволяет, например,
понизить порядок дифференциальных уравнений.
Многообразие струй имеет естественные расслоения
л1 : J'Y Э ;'s х G X (1.46)
И
тго : J'Y Э jlxs -" з(х) ? Y. (1.47)
Легко убедиться, что координаты (1.44) на многообразии струй подчинены
этим расслоениям. Более того, преобразования перехода (1.45) указывают на
то, что расслоение (1.47) является аффинным расслоением, моделируемым
(как это следует из вида линейной части этих преобразований) над
векторным расслоением
T*X(r)VY -*Г. (1.48)
у
Мы будем называть J[Y -> Y расслоением струй.
Заметим, что JlY -> Y остается расслоением, даже если Y -> X не
расслоение, а расслоенное многообразие, и в общем случае оно не
тривиально, даже если Y -> X тривиально.
Пример 1.5.1. Многообразие струй тривиального расслоения
prt : X х К -> X
является аффинным расслоением, моделируемым над индуцированным
расслоением
Т*Х х К, х
которое в общем случае не является тривиальным расслоением над X х К.
Если однако базой тривиального расслоения является евклидово пространство
Жт, расслоение струй всегда тривиально. ?
Пример 1.5.2. Пусть У и У' - расслоения над одной и той же базой X. Имеет
место естественный диффеоморфизм
Jl(Y xY') = JlY xJlY'. (1.49)
x x
?
Следующая теорема играет ключевую роль в формализме струй. Она
показывает, что расслоение струй является аффинным подрасслоением
некоторых тензорных расслоений, что позволяет оперировать струями как
обычными тангенииально-значными формами.
§ 5. Многообразия струй
47
Теорема 1.5.2. Пусть JlY - многообразие струй расслоения Y -> X.
Существуют два канонических мономорфизма над Y:
А : JlY Т*Х 0TY, (1.50)
Y
А = dxx <8дх = dxx (r) (дх + у\д{),
и
в{ : JlY T'Y 0 VY, (1.51)
Y
ву = dy' (r) di = (dy' - y\dxx) (r) d{.
?
Прагматическим следствием этой теоремы является то, что всякий элемент
многообразия струй с координатами скоростей у\ может быть представлен
тангенциальнозначными формами
dxx (r) (дх +у\дг)
ИЛИ
(dy - y\dxx) (r) di.
Рассмотрим теперь, как те или иные операции с расслоениями могут быть
продолжены на многообразия струй этих расслоений.
Пусть Ф - послойный морфизм расслоения Y -* X в расслоение Y1 -> X над
диффеоморфизмом / их общей базы X. Существует продолжение морфизма Ф до
морфизма многообразий струй
71Ф : J'Y -> J'Y',
7'Ф : j'xs н-> ;'}(Х)(Ф о s о /~').
Это послойный аффинный морфизм расслоения струй JlY -*¦ Y в расслоение
струй J'Y' -!• У' над Ф:
j' ф
J'F - J'Y1
*oi
I
Будем называть его струйным продолжением (jet prolongation) морфизма Ф. В
координатах
(1.44) он имеет вид
дхх
о7'ф= (алФ* + а,Фул) -.
Пример 1.5.3. Струйные продолжения морфизмов удовлетворяют естественным
условиям
7'(фоф') = ./'фо jV, j'(Idy) = Idj.y .
. Если морфизм Ф - сюръекция или инъекция, таковым же является и его
струйное продолжение ./'ф. ? _
48
Глава 1. Дифференциальная геометрия
Всякое сечение s расслоения Y -" X может быть продолжено до сечения
(j's)( х) = j'xs,
(У\ Ух) ° J's = (s'(x), dxs'(x)),
расслоения J'Y -> X. Оно именуется струйным продолжением сечения s. Ясно,
что не каждое сечение s расслоения J'Y -> X представляет собой струйное
продолжение некоторого сечения расслоения Y -> X. Если же оно является
таковым, т. е. s = J's, то мы будем называть его голономным сечением.
Всякое векторное поле
и = и'дх + ид{
на расслоении Y -> X может быть поднято до векторного поля и = г, о Jlu :
JlY -> JlTY -> TJ'Y,
й = ихдх + udi + (дхи + yidjU - у1дхи*)дх, (1-52)
на многообразии струй JlY расслоения У. Мы здесь использовали
канонический послойный морфизм
г, : J'TY -> TJ'Y,
Ул °г, = (У) л - У"х л.
где под J'TY понимается многообразие струй расслоения TY -> X. В
частности, имеет место канонический изоморфизм
VJ'Y = J'VY,
У\ = (У)х,
где VJ'Y - вертикальное касательное расслоение над расслоением J'Y -> X.
Если расслоение Y -> X наделено той или иной алгебраической структурой,
эта структура наследуется и расслоением J'Y -> X благодаря струйным
продолжениям соответствующих морфизмов.
Пример 1.5.4. Если Y - векторное расслоение, то J'Y -> X тоже векторное
расслоение. В частности, пусть Y - векторное расслоение и ( ) - свертка
( ) : Y х Y* ->1x1,
X X
го {) - ylVi,
где (у') и (у1) дуальные координаты на Y и Y* соответственно. Струйным
продолжением свертки {) является линейный послойный морфизм
J'{ > : J'Y х J'Y*->Т*Х х (r)L
X X
X"°J' =ylVi +у'y^-
§ 5. Многообразия струй
49
Пример Д.5.5. Если Y - аффинное расслоение, моделируемое над векторным
расслоением F,_ro J'Y -" X тоже аффинное расслоение, моделируемое над
векторным расслоением J'Y ->1. ?
Основание для применения многообразий струй в дифференциальной геометрии
