Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
векторные поля на многообразии М. Существует взаимно однозначное
соответствие между тангенциально-значными 1-формами
6": М ^ Г*М (g) ГМ
на многообразии М и линейными послойными морфизмами в себя касательного и
ко-касательного расслоений над М:
в : ТМ -> ТМ,
в :TZM 3t^t ав{г) ?TZM, (1.37)
и
в : ТМ -*¦ ТМ, в: г;м эГн в(г) jt'e г; М.
§4. Дифференциальные формы
41
Чтобы не усложнять обозначения, будем использовать для этих морфизмов тот
же самый символ 0, что и для соответствующей формы. В частности,
тождественным морфизмам 1йТм и Ыт.м соответствует каноническая
тангенциально-значная \ -форма
0м = (r) <9Л (1.38)
на многообразии М, которая задается условием
д\ j 0М = д\.
Канонической эта форма называется потому, что имеет один и тот же вид во
всех голономных системах координат. ?
Тангенциально-значные формы на многообразии М образуют пучок, который
является тензорным произведением
пучка внешних форм и пучка векторных полей на М. Иными словами
тангенциальнозначную форму можно представить как своего рода тензорное
произведение внешней формы и векторного поля. На тангенциально-значных
формах определена операция скобок Frolicher-Nijenhuis (или просто (F-N)-
cko6ok), которая обобщает скобки Ли на пучке векторных полей:
[ф, &\fn = [а (r) и, /3 0 v]Fiv =
= а А /3 0 [и, г>] + a A Lu/3 0 г; - (-1)(tm)/3 A L"a 0 и +
+ (- 1)г(г> _i a) A d/3 0 и - (-l)rs+s(u j /3) л da 0 v, a G Д JT*(M),
/5еД.Л"*(М), и, v G .У~(М),
где L" иЬ" - производные Ли внешних форм. В голономных координатах (F-N)-
cko6kh имеют вид
[ф, a]FN = |</>л,...л,А<.+,...л,.+я - (-1 У3<Тх1...х3дЖ3+1..лг+, -
г р= 1
+ (-1)"+S+P Y1 <1...АР_1>ЛР+|...А.0А1>0А, + |...АГ+W'A- ¦ -AdzAr+' 0
Р=1
Они подчиняются правилу перестановки
[Ф-i а]FN = -(-1)^^ '[<Т, ф]рn
и наделяют пучок тангенциально-значных форм структурой пучка
градуированных алгебр Ли.
Если фиксировать форму 0, то (F-N)-cko6kh задают на тангенциально-значных
формах операцию (Е-Ы)-дифференцирования или другими словами {F-N ^-
дифференциал
dg : <т ь-> двф = [0, (1.39)
42
Глава 1. Дифференциальная геометрия
Он обладает следующими свойствами
delФ, о]fn = [двф, &]fn + (-1)' ^[ф, dea]FN, ded71-(-\tmdr]de=d[et7l]FN.
Пример 1.4.4. Если в = и - векторное поле, дифференциал du (1.39)
сводится к производной Ли тангенциально-значной формы
Lиа = [и, a]FN.
?
Пример 1.4.5. Приведем полезное выражение для производной Ли внешних
дифференциальных форм
Lucr = и j da + d(u j а). (1.40)
?
Рассмотрим теперь дифференциальные формы на многообразиях, которые
являются расслоениями.
Пусть Y -> X - расслоение, наделенное атласом расслоенных координат
(1.13).
Напомним (отсылая к точным последовательностям (1.28а) и (1.28Ь)), что
касательное
расслоение TY содержит подрасслоение VY, а кокасательное расслоение T'Y -
под-
расслоение Y хТ*Х, которое по соглашению обозначается просто Т'Х. В этой
связи х
договоримся о терминологии.
Все формы на Y, ограниченные на подрасслоение Т'Х С T'Y, будем называть
горизонтальными формами (horizontal forms), а тангенциально-значные
формы, принимающие значения в подрасслоении VY С TY - вертикальными
формами. К последним можно отнести и вертикальные векторные поля
и = uldi : Y -> VY
на расслоении Y.
Среди векторных полей на расслоении выделяют также проектируемые
векторные поля (projective vector fields). Векторное поле и на расслоении
Y ^ X называется проектируемым, если оно накрывает некоторое векторное
поле ти на базе расслоения X, т. е. имеет место коммутативная диаграмма
Y > TY
7Г ТтГ.
X -^ ТХ
В голономных координатах проектируемое векторное поле имеет вид
и = и*(х)дИ +и(у)д{,
т. е. его коэффициенты разложения ""(я) зависят только от координат на X.
Такое векторное поле на Y проектируется на векторное поле
ти = u''(x)d"
§ 4. Дифференциальные формы
43
на X. Например, всякое вертикальное векторное поле и на расслоении F -" X
является проектируемым и проектируется на всюду нулевое векторное поле т"
= 0 на X.
Тангенциально-значные формы на расслоении которые представляют собой
тензорные произведения внешних форм и проектируемых векторных полей,
именуют проектируемыми формами.
В основном мы будем иметь дело со следующими типами внешних и
тангенциальнозначных форм на расслоениях:
• внешние горизонтальные формы
ф-.?^Т/\ГХ,
Ф = Фхх...хЛу)ЛхХ' л ... Л dxXr;
• тангенциально-значные горизонтальные формы
ф-.Y -" }\TX<g)TY,
Y
ф = dxx' Л ... Л dxXr 0 [0A,...A,.(z/)d" + 0a,...a,.(2/)3<] !
• тангенциально-значные проектируемые горизонтальные формы
ф = dxx' Л ... Л dxXr 0 [0a,...a,.(z)^ + Ф'х^.лЛу)^]'
• вертикально-значные горизонтальные формы
ф-.Y -> }\TX(r)VY,
У
Ф - Ф\,...\,.(.у№хх' л ... л diAr 0 <9;.
Пример 1.4.6. На всяком кокасательном расслоении ТМ определена
каноническая внешняя горизонтальная 1-форма
6 = -zxdzx, (1.41)
которая называется формой Лиувилля. Ее внешним дифференциалом со знаком
минус является каноническая симплектическая форма
U = - d6 = di\ A dzx
на ТМ. ?
