Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
плоскость М2. Пусть (ж,, уф и (х2, уф - соответствующие координаты в этих
картах. Функция перехода между картами имеет вид
Пример 1.2.2. Групповое пространство группы Ли - это аналитическое
многообразие, образованное множеством ее параметров. Приведем некоторые
полезные примеры групп Ли.
z"(z) = ("" О ф)(г)
нат (z"1). Функция перехода ф' о ф 1 между картами тогда записывается как
преобразование координат
(z") (z"V))
нат.
(1.5)
?
• Группа 17(1) умножений на комплексные числа вида ехр(га) (она же группа
поворотов SQ(2)). Ее групповое пространство - окружность S1. Эта группа
лежит в основе калибровочной теории электромагнетизма.
§2. Многообразия
17
• Группа SU(2) комплексных унитарных (2 х 2)-матриц вида
А=( aitia2 fl3 + ia4V A+A=l, dctA=l.
V -a3 + га4 ах - га2 J
Поскольку
2 , 2 . 2 , 2 ,
+ а2 + ft3 + - 1,
групповое пространство SU(2) представляет собой 3-мерную сферу 53. В
калибровочных моделях фундаментальных взаимодействий группа SU(2) играет
роль простейшей группы внутренних симметрий - изоспина, лептоспина.
• Группа 50(3) вращений в 3-мерном евклидовом пространстве. Она изоморфна
фактор-труппе группы SU(2) по подгруппе Z2 умножений на матрицу - 1. Ее
групповое пространство получается отождествлением противоположных точек
сферы 53. Это проективное пространство ЕР3.
?
Пример 1.2.3. Проективные пространства фигурируют в целом ряде полевых
моделей. Вещественное n-мерное проективное пространство ЕР" определяется
как сфера 5" с отождествленными противоположными точками. Стандартный
атлас {?/), фг} на ЕР" состоит из п + 1 карты, определяемых следующим
образом. Поместим 5" в евклидово пространство Е"+| с координатами (ж1).
Тогда проективное пространство ЕР" гомеоморфно пространству центральных
(проходящих через 0) прямых в Е"+1.
Область Ui включает прямые, которые пересекаются с гиперплоскостью х1 =
1. Каждой такой прямой сопоставим координаты точки ее пересечения с этой
гиперплоскостью:
/ 1 П+ 1 \ /1 * 1
(х{, X; ) = (х , X = 1, ..., X ).
Это и есть отображение ф{. Функции перехода между картами имеют вид
Мы проиллюстрируем эту конструкцию рисунком для случая ЕР1 (рис. 3).
Отметим, что ЕР1 = 5'. ?
Упомянем еще два типа многообразий, с которыми придется встречаться в
дальнейшем.
Пример 1.2.4. Многообразием Грассмана EG(n, к) называется многообразие к-
мерных векторных подпространств пространства Е". Приведем полезные
соотношения
?
EG(n, 1) = ЕР", EG(n, п - 1) = ЕР""'.
18
Глава 1. Дифференциальная геометрия
Пример 1.2.5. Многообразием Штифеля RV(п, к) называется многообразие
линейных изометрических отображений R* -* К". Оно гомеоморфно фактор-
пространству SO(n)/SO(n - к) и
МУ(п, к)/О(к) = RG(n, к).
Для частных случаев многообразий Штифеля имеем следующие соотношения
WV(n, п- 1) = SO(n),
RV(n, 1) = S""1.
?
Пусть М и М' - многообразия и / - отображение М в М'. Говорят, что
отображение / является морфизмом многообразий (дифференцируемым
отображением), если оно непрерывно и для любых карт (11,ф) на М и ([/',
ф') на М' таких, что f(U) С U', отображение
ф' о / о 0'1 : ф(11) -> ф\и')
бесконечно дифференцируемо. Если при этом / взаимно однозначное
отображение и обратное отображение /-| тоже дифференцируемое, то /
осуществляет изоморфизм многообразия М на многообразие М' и называется
диффеоморфизмом.
Пример 1.2.6. Построим отображение / окружности S' на окружность S', при
котором первая окружность дважды оборачивается вокруг второй. Чтобы
удовлетворить условию f(U) С U', введем на первой окружности атлас,
который в отличие от стандартного, состоит из 4 карт
\ /-7Т- . 5х \ / Зх . ^ 7х \ / ^Х . . 9х \
< аз < tJ ' (т<аз<т)> (т<^<т)>
5х , , 7х 7х - I л ^ 9х
- < а4 = а3 < -, - < а4 = а, + 2тг < -
а на второй окружности - стандартный атлас
(-!<*¦<?). (т<л<т)
7 < 01 = 02 < у, у < фг = 01 + 27Г < у
Тогда отображение / имеет вид
а, -> ф] = 2аь а3 -> ф^ = 2а3 - 2х,
о?2 * Ф2 -- 2а2, са4 ^ ф2 -- 2оц 2х.
?
В дальнейшем предполагается, что все отображения, если специально не
оговорено, являются дифференцируемыми класса .
Заметим, что часто нет необходимости полностью выписывать координатный
атлас многообразия, а достаточно ограничиться некоторой одной
координатной картой, следя за тем, чтобы все рассматриваемые
геометрические объекты соответствующим образом преобразовывались при
замене координат и тем самым могли быть глобально определены на всем
многообразии.
Обратимся теперь к конструкции, характерной именно для дифференцируемых
многообразий. Это касательные пространства.
§2. Многообразия
19
Строгое математическое определение касательного вектора к многообразию
выглядит весьма техническим. Мы не станем здесь вдаваться в его детали,
апеллируя к наглядным представлениям о касательной плоскости к
искривленной поверхности. Этого вполне достаточно, чтобы оперировать
понятиями касательного вектора и касательного пространства к
многообразию.
Касательные векторы к m-мерному многообразию М в точке z € М образуют т-
