Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сарданашвили Г.А. -> "Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1" -> 17

Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.

Сарданашвили Г.А. Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 — М.: УРСС, 1996. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): geometriyaiklassicheskiepolya1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 97 >> Следующая

над X, то его образ является подмногообразием в К' и он называется
подрасслоением расслоения Y' -> X. Послойное вложение часто называют
мономорфизмом расслоений (bundle monomorphism), а послойный диффеоморфизм
над X - изоморфизмом расслоений (bundle isomorphism).
Послойный морфизм Ф (1.18) над диффеоморфизмом / преобразует всякое
сечение s расслоения Y -> X в сечение
s' = $oso/-' (1.19)
расслоения Y' -> X'.
Примером послойного морфизма расслоений может служить касательный морфизм
Tf (1.9) касательного расслоения ТМ в касательное расслоение ТМ',
порождаемый морфизмом многообразий / : М -> М'. Он представляет собой
линейный послойный морфизм над /:
ТМ -^ ТМ'
М----- -- М'
Если / - диффеоморфизм, то Tf изоморфизм.
Заметим, что не всякий даже диффеоморфизм X -> X' базы расслоения Y -> X
на базу расслоения Y -> X' может быть продолжен до послойного морфизма
расслоений У -* У'. В то же время, если дано расслоение У' -> X', всякий
морфизм / : X -> X'
28
Глава 1. Дифференциальная геометрия
порождает так называемое индуцированное (pullback) расслоение /*У' над X.
Оно образовано всевозможными парами
{{у, х) Е Y' х X, тг'(у') = f(x)}
с естественной проекцией (ух) ь-> х. Другими словами, слоем
индуцированного расслоения /*У' над точкой х Е X является слой
расслоения Y' над точкой f(x) Е X'.
При этом существует естественный послойный морфизм
/. : ГУ - Y',
/, : (у, х) ^ у', (1.20)
над /. Отметим, что всякое сечение s расслоения Y' задает индуцированное
сечение
(fs)(x) = ((sof)(x),x) (1.21)
расслоения f*Y' ->¦ X, индуцированного из У' -> X'.
Пример 1.3.7. Пусть дано расслоение У'->Х'. Если образ отображения / : X-
>Х' является подмногообразием в X', то индуцированное расслоение
ГУ = Y' |/(Х)
называется сужением расслоения Y' на подмногообразие /(X) С X'. ?
Пример 1.3.8. Прямое произведение расслоений тт : У -> X итг':У'->Х над
одной и той же базой X определяется как индуцированное расслоение
тг*У' = тг'*У = У х У'.
X
?
Рассмотрим теперь расслоения, наделенные некоторой алгебраической
структурой. Расслоение тг : У -> X называется групповым расслоением, если
заданы послойные морфизмы
т : У х У -> У,
х (1.22)
Т:У ^У
над X и глобальное сечение
е : X > У, (1.23)
которые превращают каждый слой Ух расслоения У в группу
fn((e о 7г)(у), у) = т{у, (е о тг)(у)) = у, т(г(у), у) = fh{y, i{y)) = (е
о тг)(у).
Более точно было бы назвать такое расслоение расслоением на группы,
когда само многообразие У не является группой, но
"расслаивается" на группы. Подчеркнем, что,
хотя слои группового расслоения наделены групповой структурой, его
типичный слой в общем случае не является группой.
§ 3. Расслоенные многообразия
29
Пусть даны расслоение У -> X и групповое расслоение Y -> X вместе с
послойным морфизмом _
г : Y хУ -> У
х
над X, который определяет в каждом слое Yx расслоения Y левое (или
правое) свободное транзитивное действие группы Ух. Тогда расслоение Y
называется обобщенным аффинным расслоением, моделируемым слева (соотв.
справа) над групповым расслоением Y.
Напомним, что действие группы G в пространстве V называется свободным,
если gv = v для некоторого v 6 V влечет <7=1.
Пример 1.3.9. Векторное расслоение Y -> X можно характеризовать как
групповое расслоение, слои которого являются векторными пространствами,
т. е. имеют структуру аддитивной группы векторного пространства Mfe.
Однако этого недостаточно. Предполагается, что векторное расслоение
должен быть наделено атласом расслоения, морфизмы тривиализации которого
линейны на его слоях. Более того, только такие атласы рассматриваются в
качестве атласов векторного расслоения. В этом случае типичный слой
векторного расслоения является векторным пространством и не только
диффеоморфен, но и изоморфен Mfe. Примером векторного расслоения может
служить касательное расслоение ТМ -> М. ?
Пример 1.3.10. Аффинным расслоением называется обобщенное аффинное
расслоение Y -> X, моделируемое над некоторым векторным расслоением Y ->
X. Оно наделено атласом аффинных расслоенных координат (хх, у') таких,
что
г ¦ (у', у') ^ У+у\
где (хх, у1) - линейные расслоенные координаты на векторном расслоении Y.
Типичный слой аффинного расслоения Y является аффинным
пространством,_моделируемым над векторным пространством типичного слоя
векторного расслоения Y. Он диффеоморфен некоторому М4. В частности,
всякое векторное расслоение Y имеет каноническую структуру аффинного
расслоения, моделируемого над самим собой посредством морфизма
т ¦ (У, У) У + у.
Из Теоремы 1.3.2 следует, что аффинное расслоение, как и векторное,
всегда обладает глобальным сечением. ?
Приведем основные операции, производимые с векторными расслоениями над
одной и той же базой:
• дуальное к Y векторное расслоение У* с типичным слоем У*, дуальным
типичному слою V векторного расслоения У;
• сумма Уитни УФУ' векторных расслоений У и У' с типичным слоем УФУ' -
прямой суммой типичных слоев расслоений У и У';
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed