Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
При этом база X гомеоморфна фактору У по этому отношению эквивалентности.
На расслоенном многообразии У -" X по определению может быть задана
расслоенная система координат
(х\ IП, ¦ (1.13)
хх -" х'Х(х'"),
у' -* I/'(эЛ yJ),
подчиненная структуре расслоения (1.12). Иными словами среди координат
расслоенного многообразия можно выделить координаты базы Xх,
преобразования перехода которых не зависят от оставшихся координат у'.
Мы, как правило, будем иметь дело с расслоенными многообразиями
следующей,, можно сказать, упрощенной конструкции.
Расслоенное многообразие У -" X называется тривиальным расслоением, если
существует такое многообразие V, что У диффеоморфно прямому произведению
X х V.
Пример 1.3.1. Тор Т2 = Sl х S' из Примера 1.1.17 является тривиальным
расслоением над окружностью S'. Наглядным примером нетривиального
расслоенного многообразия может служить открытый лист Мебиуса. Базой его
является окружность S', а слоями - интервалы ] - 1, 1 [ (см. ниже Пример
1.3.4). Он отличается от открытого кольца S'x] - 1, 1[ - тривиального
расслоения с той же базой и такими же слоями. ?
Подобно тому как многообразия склеены из областей евклидовых пространств,
будем рассматривать в основном расслоенные многообразия, которые как бы
склеены из кусков тривиальных расслоений.
Расслоенное многообразие У -> X называется локально тривиальным, если для
каждой точки iEl существует открытая окрестность U такая, что имеет место
локальное расщепление
¦ф : ж~'(Щ -* U х V, (1.14)
рг,° Ф = 7Г,
расслоенного многообразия У. При этом, в отличие от (1.11), во всех
локальных расщеплениях (1.14) фигурирует одно и то же многообразие V,
которому диффеоморфны слои У. Оно называется типичным слоем, (standard
fiber). Расщепление (1.14) представляет собой тривиальное расслоения U х
V -> U над U. Существует открытое покрытие {{7е.} базы X такое, что
локально тривиальное расслоенное многообразие У выглядит как склеенное из
тривиальных расслоений ?7? х V над U(. Подмножества [/, С I
24
Глава 1. Дифференциальная геометрия
называются областями тривиализации, а соответствующие диффеоморфизмы V? -
морфизмами тривиализации расслоенного многообразия Y. Пары областей и
морфизмов тривиализации (Uf, V?) составляют атлас расслоения
Ф = {^е. V'o PcJ
с функциями перехода
р(( : (Г/? П U() х V - П Uc) х F,
U^nU^
ipaiy) = (Ptc 0 V'cKj/), 2/ е тг_1(СЛг п ^с)-Последние удовлетворяют
естественным циклическим условиям
= Иг(хг,
0 Рек luenucnuzxv "
Пример 1.3.2. Рассмотрим многообразия Ж2 \ {0}, параметризуемое
координатами (у1, у2), и Ж, параметризуемое (х). Проекция
7г : Ж2 \ {0} -> Ж,
Ж0 7Г = (у')2 - (у2)2,
дает пример расслоенного многообразия, которое не является локально
тривиальным. ?
Дифференцируемым расслоением или просто расслоением (fiber bundle)
называется локально тривиальное расслоенное многообразие (1.12),
наделенное семейством эквивалентных атласов расслоения.
Как и для атласов многообразий, два атласа расслоения считаются
эквивалентными, если их объединение тоже является атласом расслоения. В
частности, два атласа расслоения Ф = {Г/?, V?} и Ф' = {П?, V?} над одним
и тем же покрытием {П?} базы X эквивалентны тогда и только тогда, когда
их морфизмы тривиализации отличаются друг от друга изоморфизмами
тривиальных расслоений U( х V:
g^.U( хГ^1/? х V,
В свою очередь всякое семейство таких изоморфизмов д^} задает
преобразование атласов расслоения
{и(,ф(} -> {и0д( О ф(}. (1.15)
Например, расслоение является тривиальным тогда и только тогда, когда
всякий его атлас посредством преобразований (1.15) может быть приведен к
атласу только с тождественными функциями перехода рк.
Заметим, что часто, вместо функций перехода р?с, технически бывает более
удобно оперировать величинами
ви := pr2°P?c '• п ис) х V
V,
(1.16)
§3. Расслоенные многообразия
25
которые также будем называть функциями перехода. Аналогично, вместо
морфизмов тривиализации ip(, иногда целесообразно использовать величины
<Pi := рг2о^ : *"'(С7{) -" V,
которые также будем называть морфизмами тривиализации. При этом атлас
расслоения можно эквивалентно характеризовать посредством и ip^,
поскольку
Р(( = W[/4nc/c
i>s = тг х <р(.
Если Y -* X - расслоение, будем в дальнейшем предполагать, что система
расслоенных координат (1.13) на Y ассоциирована с некоторым атласом
расслоения Ф, т. е.
У'(У) = (v'otp()(y), тг(у)еи0
где v1 являются координатами на типичном слое V расслоения Y. Функции
перехода (1.16) тогда записываются как преобразования расслоенных
координат
vl ° вц = у3().
Для этого атлас расслоения и координатный атлас базы расслоения
необходимо задавать над одним и тем же открытым покрытием базы, например,
взяв объединение открытых покрытий для этих атласов. Поэтому в дальнейшем
договоримся просто считать открытое покрытие {17е} базы расслоения
фиксированным.
Пример 1.3.3. Пусть ТМ - многообразие касательных пространств к
многообразию М. Легко проверить, что морфизм (1.8) является проекцией и
