Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Сарданашвили Г.А. -> "Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1" -> 20

Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 - Сарданашвили Г.А.

Сарданашвили Г.А. Геометрия и классические поля. Современные методы теории поля. Том 1 — М.: УРСС, 1996. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): geometriyaiklassicheskiepolya1996.pdf
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 97 >> Следующая

форм на многообразиях и расслоениях. Все они - это частные случаи
тензорных полей - глобальных сечений тензорных расслоений (см. Пример
1.3.11).
• Векторное поле на многообразии М - это сечение касательного расслоения
ТМ.
• Внешние дифференциальные формы на М - сечения внешних произведений
кока-сательных расслоений
д гм.
• Тангенциально-значные дифференциальные формы на М - сечения тензорных
произведений
ДТ*М(r)ГМ.
• Тангенциально-значные формы, а точнее, дифференциальные формы со
значениями в касательных расслоениях, - это частный случай
векторнозначных форм - сечений тензорных произведений
Д Т'М(r)Е, м
где Е -> М - некоторое векторное расслоение над М.
2*
36
Глава 1. Дифференциальная геометрия
Пусть М - это то-мерное многообразие с координатами (zM) и и - -
не-
особое векторное поле на М. Из известных теорем о существовании и
единственности решения такой системы уравнений следует, что через каждую
точку z0 ? М проходит одно и только одно решение z(t, zn) системы
дифференциальных уравнений
dz"
- = ti"(z(i)), z(0, z0) = z0,
dt
определенное на интервале |?| < е, е > 0.
Векторное поле называется полным, если его интегральные кривые определены
при всех z0 G М, t G М. Для этого достаточно, чтобы они были определены
при всех z0 G М и некотором е > 0.
Полное векторное поле и на многообразии М индуцирует семейство
диффеоморфизмов
Gu(t): М Э z, z(t, z0) ? М (1.31)
многообразия М на себя. Они удовлетворяют естественным условиям
Gu(0) = \йм,
Gu(t + t') = Gu{t')°Gu(t),
Gu(-t) = G~\t)
и образуют однопараметрическую группу Ли, действующую на М:
I х М -* М.
Мы обозначим ее Gu.
Диффеоморфизмы (1.31) многообразия М порождают соответствующие
преобразования (1.19) векторных полей
T'(z) = (TGu(t)oT)(Gu(ty'(z)),
пфаффовых форм
4>\z) = (T'Gu(t)o<t>)(Gu(tT\z))
и вообще пучков тензорных полей на многообразии М. Действие
однопараметрической группы Gu на тензорных полях удобно представить,
задав ее генератор
l "<':::?<*) = (д.ушуху) + ¦ • • + (^""^"(z) -
(1 32)
- (^ )С" У) (даи^ wyz (z) + udxy"l:::X со-
Он называется производной Ли или дифференцированием Ли вдоль векторного
поля и и удовлетворяет привычным для генераторов и дифференцирований
условиям
L"(0 + ф1) = Lиф + L"0 ,
Lи(Ф(r)Ф') = КФ(r)Ф' + Ф(r) ^ыф'¦
В частности, если ф - вещественная функция на многообразии М, ее
производная Ли сводится к обычному оператору дифференцирования по
направлению и:
Lиф - ихдхф¦
§ 4. Дифференциальные формы
37
В случае векторного поля ф = и', его производную Ли (1.32) можно
представить в виде коммутатора или скобок Ли векторных полей и и и':
Lии' = (и'д^и11 - иа даи>1)д11 = [и, и], (1.33)
где базисные векторы <9(1 представляются соответствующими операторами
частных производных d/dz1*.
Конструкции дифференцирования Ли (1.32) и скобок Ли (1.33) могут быть
распространены на произвольное (будь то особое или локальное) векторное
поле и на многообразии М. При этом скобки Ли (1.33) наделяют пучок (М)
векторных полей на М структурой пучка алгебр Ли. Другими словами всякое
векторное поле на многообразии может быть представлено как элемент
некоторой алгебры Ли.
Обратно, пусть G - некоторая группа Ли диффеоморфизмов многообразия М,
которая действует на М эффективно. Имеет место вложение алгебры Ли '7?
группы G в пучок векторных полей на М, при котором всякому элементу I ?
2? ставится в соответствие векторное поле и, такое, что действие
генератора I на тензорные поля совпадает с их дифференцированием Ли L,l;
вдоль векторного поля и,. Оно называется фундаментальным векторным полем,
отвечающим генератору I алгебры Ли (??. Можно сказать, что
фундаментальное векторное поле uj(z) указывает направление, в котором
переносится точка z под действием генератора I группы диффеоморфизмов G.
На практике это означает, что, если мы хотим исследовать инвариантность
той или иной величины, заданной на многообразии, относительно действия
некоторой группы Ли диффеоморфизмов этого многообразия, часто бывает
достаточно рассмотреть соответствующие производные Ли.
Перейдем теперь к дифференциальным формам на многообразии. Как уже
отмечалось, это внешние и векторнозначные дифференциальные формы.
Изложение, краткое или во всех деталях, аппарата внешних дифференциальных
форм можно найти в любой книге по дифференциальной геометрии и в обширной
литературе по калибровочной теории. Поэтому напомним здесь только
основные выражения.
Пусть М - это m-мерное многообразие с координатами (гл). Внешними
дифференциальными формами степени г на М (или просто внешними г-формами)
именуются сечения расслоения
/\Т*М-+М. (1.34)
Например, сечения кокасательного расслоения Т'М в такой терминологии
называются внешними 1-формами или, как уже говорилось, пфаффовыми
формами. Вещественные функции на М принято считать внешними 0-формами.
Голономные базисы слоев расслоения (1.34) составляют элементы dzX] А • •
A dzx' с фиксированным порядком (Л,,.... Лг). По определению это
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed