Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
Считайте, что длины связей CHi=CH2=CH3 = а, и вспомните, что направления
связей от С к Ни Нг, Н3 и С' имеют симметрию правильного тетраэдра.
В этой задаче будут рассмотрены два отдельных случая.
Случай 1: молекула этана Н3С-СН3; случай 2: молекула гексахлорэтана С13С-
СС13.
320
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 67
Численные значения: масса атома С1 в 35,5 раз больше массы атома Н; а -
1,08 А( случай 1) и 1,8 А (случай 2); W0 = 0,06эВ (оба случая). Заданы
также значения N, е и h.
1. Покажите, что уравнение Шредингера можно записать в виде
~r^ + W0cos3Qq = -Wq, (1)
где/ - приведенный момент инерции относительно оси СС'. Найдите I для
случаев 1 и 2.
2. Допустите вначале, что W0 пренебрежимо мало по сравнению с W.
а) Решив уравнение Шредингера для этого случая, получите выражения для
собственных значений и собственных функций системы, принимая во внимание
условия периодичности, накладываемые на функцию ф.
б) Какова зависимость от угла 0 вероятности нахождения системы в
различных состояниях?
в) Сравните найденные выше энергетические уровни С уровнями энергии
ротатора, имеющего такой же момент инерции относительно фиксированной
оси.
г) Справедливо ли допущение, что величиной 1К0 можно пренебречь по
сравнению с W? Вычислите величину W в электрон-вольтах для случаев 1 и 2.
3. Допустите теперь, что 1К0 имеет существенную величину.
а) Путем чисто физического рассмотрения покажите, что ф имеет
существенное значение при 30 = 2kn (k - целое число). Поэтому при
рассмотрении уравнения Шредингера учитываются только два первых члена в
разложении cos 30.
б) Знаком ли Вам вид преобразованного уравнения? С какой задачей он
ассоциируется?
4. Найдите энергетические уровни системы, определенные предыдущим
уравнением. Рассмотрите решения в виде
ф (0) = ехр ( - Р (0),
где b - константа, которую нужно определить, а Д(0)-полином. Записав P(Q)
с конечным числом членов, укажите условия, которые определяют возможные
значения энергии системы W.
а) Примените эти условия и напишите общее выражение для W.
б) Сравните W с W0. Рассчитайте первые три уровня для W в электрон-
вольтах для случаев 1 и 2. Обсудите результаты.
РЕШЕНИЕ
.1. Вращение СН3-групп друг относительно друга происходит в молекуле
вокруг фиксированной оси С-С', Эта ось перпенди-
ЗАДАЧА 67
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
321
кулярна плоскости чертежа (фиг. 67.1), причем группа СН1Н2Н3 расположена
перед группой С'Н( Н2 Нз Относительное положение этих групп зависит
только от угла 0. Задача действительно аналогична задаче о ротаторе с
фиксированной осью, но отличается от нее по двум пунктам.
Во-первых, поскольку обе метильные группы подвижны, то момент инерции,
используемый в этой задаче, является приведен-
Фиг. 67.2
ным моментом инерции, аналогичным приведенной массе линейного
осциллятора; величина его в общем случае равна
j 7 [/2
Л + /2
Здесь /1 = /2 = /о и / = /0/2, причем /0 - момент инерции метальной
группы относительно оси СС'. Имеем (фиг. 67.2)
/0 = S/nr2 = 3т. (a sin а)2,
где т - масса атома водорода (или хлора), а а - угол, дополнительный к
углу
Н^СС' = 109° 28'.
Для С2Н6:
о 1 л - 26
/ = Т^25"(1'08,°'9428)2==2'66, 10~47 КГ/м2'
Для С2С16:
1 " 3' 2°-=б'о2535'5 (1'8 • °.9428)2 = 254 • КГ47 кг/м2.
Во-вторых, здесь имеется потенциальная энергия которая отсутствует в
случае ротатора. Рассмотрение уравнения Шредингера для стационарных
состояний частицы с массой ш
|iAt + (^_U7p)1|3 = 0
11 Зак, 173
322 ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ ЗАДАЧА 67
и обсуждение, аналогичное тому, которое проводилось для ротатора,
показывает, что первый член может быть представлен в виде
Ь2 А2ф 2/ dQ2 ¦
Принимая во внимание заданное в задаче выражение Wp = -Wo cos 30,
находим, что уравнение Шредингера совпадает с уравнением (1), что и
требовалось показать.
2. Если потенциальной энергией можно пренебречь по сравнению с
энергией молекулы, уравнение (1) принимает форму уравнения для ротатора с
фиксированной осью. Это отвечает свободному вращению двух половин
молекулы относительно друг друга. Волновые функции имеют форму функций
для ротатора:
Ф = С ехр / д/Щрг~ Ф + ") • <2)
Однако рассмотрение фиг. 67.1 показывает, что эта функция периодична с
периодом 2я/3:
ф(0) = ф(-х).
Это условие, примененное к (2), дает
( , . / ШГ 2л Л ,
exp^i/д/- -J=l,
откуда определяются собственные значения энергии:
9 Л2
Wj=P-^j~ (J-целое число). (3)
Один из трех энергетических уровней ротатора со свободной осью является
разрешенным.
Для С2Нб:
Wj = Р lli-1'054--!0-^ = Р -9'999 ,|0~ВЯ1,90 • 10~21/2 Дж,
J 2-2,66. КГ47 5,32. 10-47 '
?7 ].S° • 10:!i /-> ^ j 19 . 10-2/2 эВ.
1 1.60- 10"19
Энергия Wj для второго возбужденного уровня (J = 2) превышает значение
W0.
Для СгС1б:
Wj =Р 10~34)2 18в1.2 • 10~4/2 эВ-
] 2 • 254 - 10 • 1,60 • 10"
В этом случае 1 должно быть равным 23, чтобы величина W} достигала
величины IFq. Таким образом, легко вызвать внутрен-
ЗАДАЧА 67
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
323
нее вращение мри возбуждении молекулы С2Н6. Напротив, это трудно сделать
