Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
¦d^ + ^-dT + lTo-11^ + ~р р* / Фр ' (3>
4. При р->оо из (3) получается асимптотическое уравнение
d2ib0 A2W
""dp2 ^ D Фр = *"*' ^
для которого подходящим решением является
ехр ( А д/р), откуда _______
ь-Ал/^' (5>
С другой стороны, при р->0 уравнение (3) асимптотически приближается к
d2i])p 2 d-фр Л2 + /(/+1)
ЗАДАЧА 68 КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 327
- дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными
коэффициентами. Обсуждение, аналогичное тому, которое проводилось для
атома водорода, показывает, что решение этого уравнения должно
характеризоваться величиной рр, подстановка которой в (6) приводит к
уравнению
p2 + p-A2~J(J+ 1) = 0.
Его единственно приемлемым решением будет
р=-?+л/'4!+(/+1)2' (7)
поскольку р > -1.
Таким образом, решение (3) имеет требуемую форму, а именно
%(Р) = РР ехр(-6р)/(р), (8)
где р определяется уравнением (7), b - уравнением (5). Подставляя (8) в
(3), находим уравнение, которому удовлетворяет /(Р):
г + 2Г - А VI7) + f [/,! - лл/т <Р + 1>] - ¦°-
5. Рассуждения, подобные тем, которые проводились в задаче об атоме
водорода, приводят к тому, что должно выполняться условие ___
A/\j-§r =
где п - положительное целое число. Энергия определяется выражением
Г) Л-
W = - -f--------1 --...... -. (9)
[n+'h + \М2 + (/ + '/2)2] W
6. Если Т > л и /, получаем
д/л2+(У + 4) -"Л[ 1 ]'
и знаменатель в уравнении (9) принимает вид
•откуда приближенное значение энергии равно
Г.Г. 2(я + */2) П + Ч2 VI
328
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 68
ИЛИ
r = -D + ft",(n + i) + (y+i-)2^, (10)
где ___
2D ./ 2D СО =-Г- - п л / -г .
А V |та-
Первый член в (10) представляет энергию диссоциации (отсчитываемую от
значения нулевой энергии без учета колебательной энергии основного
состояния). Второй член характеризует энергию гармонических колебаний
(нужно удостовериться, что со имеет размерность частоты). Третий член
представляет вращательную энергию.
АТОМНЫЕ И МОЛЕКУЛЯРНЫЕ СПЕКТРЫ
ЗАДАЧА 69
Спектр атома водорода
I
• Квантовая теория излучения спектральной линии. Теория Бора. Применение
к излучению атома водорода. Расчет постоянной Ридберга Rn для случая
фиксированного ядра и случая с учетом движения ядра.
Численные данные:
/г = 6,625 • КГ34 Дж-с, с = 2,998 • 108 м/с, е= 1,602 • 1(Г1ЭКл,
е°= 4я НГТо~ ' m = 9,108 • 10"31 кг.
Отношение массы электрона т к массе ядра атома водорода М равно 1/1838.
II
Найдите общее соотношение для числа длин волн на один сантиметр в
излучении, испускаемом атомом водорода при переходе электрона с уровня п
на уровень п'.
Численный пример. Вычислите длину волны в сухом воздухе при 15 СС и
атмосферном давлении для первых четырех линий серии Бальмера (линий На,
Нр, HY, Hfi). Какова длина волны границы серии? Каковы резонансные
потенциалы и ионизационный потенциал для'атома водорода?
Примите, что показатель преломления сухого воздуха при 15 °С и
атмосферном давлении равен 1,000280, а экспериментально полученное
значение Яш = 109 678 см-1.
III
Спектры ионизованного гелия и дейтерия.
Серия Ридберга и Пикеринга
Численный пример. Вычислите постоянную Ридберга RD для дейтерия (тяжелого
водорода) в случае фиксированного ядра и для случая, учитывающего
движение ядра. Отношение массы электрона к массе ядра дейтерия равно
1/3571.
330
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 69'
Принимая, что /?D'= 109 707 см-1, определите длину волны в сухом воздухе
при 15 °С и атмосферном давлении для первых четырех линий серии Бальмера
для дейтерия, аналогичных линиям На, Нр, HY и Н6 легкого водорода.
IV
Рассмотрите две линии На, предполагая, что они излучаются с одинаковой
интенсивностью смесью легкого водорода и дейтерия и регистрируются
дифракционным спектрографом с плоской отражающей решеткой. Решетка длиной
5 см, имеющая 500 штрихов на 1 мм, освещается через исчезающе узкую
щель,, находящуюся в фокальной плоскости объектива. Щель параллельна
линиям решетки.
Дифрагированный луч наблюдается в телескоп с фокусным расстоянием 40 см в
направлении, перпендикулярном решетке.
Каким должен быть угол падения, чтобы изображение щели в третьем порядке
дифракции располагалось на перекрестке нитей телескопа? Каково значение
угловой дисперсии? Каково линейное расстояние в фокальной плоскости
объектива между двумя линиями, различающимися подлине волны на 1 А?
Каково-линейное расстояние между линиями На легкого водорода и дейтерия?
Каково теоретическое значение разрешающей силы? Какова должна быть
оптическая сила окуляра, чтобы разрешающая сила решетки использовалась
эффективно? Допустите, что глаз-может различать угол величиной V и
входные отверстия объектива коллиматора и телескопа достаточно велики,
чтобы не снижать разрешающую силу решетки.
РЕШЕНИЕ
I
В первоначальной теории Бора предполагалось, что электрон описывает
вокруг ядра атома водорода, находящегося в основном состоянии (или
относительно центра масс), круговые орбиты радиусом г0 и что кулоновское
притяжение
. п
(1>
4яв Q/-2
обеспечивает необходимую центростремительную силу для этой орбиты,
