Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
равновесии энергия, излучаемая осциллятором в виде электромагнитных волн,
равна поглощаемой энергии изотермического излучения, которая
характеризуется плотностью iiy(v) в спектральном интервале dv. Энергия
306
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 63
излучается так же, как в случае диполя Герца. Чтобы оценить поглощаемую
энергию, рассмотрим результаты задачи 51. Принимая первоначально, что
полная средняя энергия осциллятора подчиняется принципу равномерного
распределения энергии по степеням свободы, покажите, что выражение,
полученное для m>(v), - то есть формула Рэлея - Джинса - не выполняется,
так как оно не удовлетворяет закону Стефана1). Затем, принимая
предположение Планка, что осциллятор может обладать только такими
значениями полной энергии, которые являются кратными энергии W, вычислите
среднее значение энергии осциллятора и плотность энергии излучения w(v),
полагая что W = hv, где h - постоянная Планка.
2. Покажите, что при низких частотах формула Планка приводится к
выражению Рэлея - Джинса. Какой вид она принимает при высоких частотах?
3. Учитывая, что w(v)dv =-w(X)dX, представьте формулу Планка в функции
длины волны X. Покажите, что она принимает вид w(X) = X~5f(l/XT) и
удовлетворяет закону Стефана
w= ш(Х) dX = С,Г4
и закону Вина ХтТ = С2.
4. Эксперимент дает для постоянной Вина С2 = 2,897-10-3 м X X град, а для
постоянной Стефана С1 = 7,562 • 10-16 Вт - м~3- град-4.
При условии
оо
Г х3 йх я4
) ех - 1 - "ПТ
о
и считая, что решением уравнения Ъ(ех-\) = хех является х = 4,965,
определите постоянную Планка h и постоянную Больцмана k через скорость
света в вакууме.
РЕШЕНИЕ
1. Средний поток, излучаемый линейным осциллятором Герца, определяется
формулой (см. задачу 51)
(Ф):
Вводя энергию осциллятора
ю0 dm
12я80сэ
W = ^m^sl=-
*) В отечественной литературе этот закон называется "законом Стефана -
Больцмана". Закон Стефана - Больцмана в этой задаче записан для
спектральной плотности излучения. - Прим. перев.
ЗАДАЧА 63
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
307
и частоту v = со/2я, находим
2n\lq2
<Ф> = -31^Г^ (")
С другой стороны, выражение для поглощаемой мощности выводится, как в
случае светового потока, поглощаемого средой, состоящей из классических
осцилляторов (задача 49). Поток Ф0, переносимый плоской волной с единицы
площади на расстояние dx, встречает на своем пути Ndx осцилляторов.
Поглощаемая мощность потока dQ0 определяется уравнением (9) из задачи 49.
Каждый осциллятор поглощает мощность в соответствии с формулой
-ТПГ- = -r-wly). (2)
N dx 4е0т '
При тепловом равновесии левые части уравнений (1) и (2) равны, поэтому
w(v) = -^W.
Но поскольку тепловое излучение в изотермическом объеме изотропно, его
плотность в 3 раза больше плотности потока, распространяющегося в одном
направлении. Таким образом,
w(v)=*-^W. (3)
Если имеет место равномерное распределение энергии по степеням свободы
(см. задачу 79), то можно считать, что энергия линейного гармонического
осциллятора равна кТ. В этом случае уравнение (3) принимает вид
w(y) = -^-kT. (4)
Интеграл ^ w(v)dv имеет бесконечную величину, если зна-
о
чение w(v) определяется формулой (4), вместо того чтобы быть
пропорциональным 7м, согласно закону Стефана. Таким образом, закон Рэлея
- Джинса (4) не отражает спектрального распределения для излучения
черного тела. Это выражеяие следует из условия равномерного распределения
энергии, полученного в свою очередь в предположении, что энергия может
изменяться непрерывно (см. задачу 79). Допустим теперь обратное, что
энергия осциллятора с частотой v может принимать только значения 0, hv,
2hv vhv (где v - положительное целое число)
308 ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ ЗАДАЧА 63
и что No - число невозбужденных осцилляторов. Число осцилляторов с
энергией nhv в объеме при температуре Т, при использовании коэффициента
Больцмана, равно
Nv = N0 ехр ( - ¦
Полное число осцилляторов
A^ = A^[l + exp(--b-) + exp(-^)+ ...] =
N о
1 - ехр (- hv/kT) ' а энергия всего ансамбля определяется формулой U =
hvNо ехр (- + 2hvN0 ехр (- + . ..
. . . -f- vhvNo ехр (- + ¦ ¦. .
U равно производной N по 1 /кТ, следовательно,
., N0hv ехр (- hv/kT) Nhv
[1 - ехр (- hv/kT)]2 ехр (hv/kT) - 1
Среднее значение энергии осцилляторов (1F) равно U/N, и уравнение (2)
принимает вид
/ 8 nhv3 1 /г,
w(v,T) - сз (hv/kT) - \ •
Это и есть закон излучения Планка, дающий с хорошей точностью
распределение энергии, излучаемой абсолютно черным
телом.
2. Для низких частот, если hv <С kT, можно разложить экспоненту в (5)
в ряд и ограничиться первыми двумя членами, что дает
, 8itftv3 kT
w{v, Т) =-3- - .
Постоянная h исключается, и мы снова получаем невыполняю-щееся
классическое выражение (4).
При высоких частотах, если hv 3> kT, в (5) можно пренебречь единицей по
сравнению с экспонентой, что приводит к соотношению
, 8я/ы3 ( hv \
Т) = --г~ exp^ - jjr). (6)
Это выражение определяет некую функцию от v и Т, аналогичную той, которая
предлагалась до Планка Вином для некоторых
