Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
собственные функции ф", разложите W0n и фоп в степенной ряд по е:
Гп = Г0" + еГ'+ е2Г"+ .... (4)
% = + • • • • (5)
Подставив эти разложения в уравнение (3), напишите уравнение для первого
порядка возмущения. Замените ф' разложением по собственным функциям
невозмущенной атомной системы и покажите, что изменение W'n, которому
подвергается уровень энергии п в результате возмущения первого порядка,
опреде-.ляется формулой
(6)
ЗАДАЧА 65
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
313
3. Покажите, что расчет W\ основного состояния подобен расчету энергии
для сферически-симметричного распределения электрического заряда при
аналогичном распределении потенциала. Вычислите W[, принимая энергию
основного состояния для водорода равной 13,56 эВ, и тем самым найдите
энергию основного состояния атома гелия. Сравните ее с экспериментально
полученным значением -78,4 эВ.
1. Масса электрона намного меньше массы ядра, так что ядро можно
рассматривать как неподвижное. Тогда гамильтониан запишется в виде
Индексы 1 и 2 относятся соответственно к каждому из электронов, г\ и г2 -
расстояния электронов от ядра, а г12 - расстояние между ними. Если
рассматривать взаимное кулоновское отталкивание как возмущение,
описываемое членом
то гамильтониан для невозмущенной системы будет иметь вид
С помощью разделения переменных уравнение Шредингера можно разбить на две
части, каждая из которых соответствует водородной задаче для ядра с
зарядом Ze. Нетрудно показать, что, если в решении задачи о водороде
умножить значение потенциальной энергии на Z, энергия W умножается на Z2
и собственная функция фюо принимает вид
так что при Z = 2 она удовлетворяет уравнению (2). Постоянную А молено
вычислить с помощью условия нормировки
РЕШЕНИЕ
4яе 0г2
)•
ОО
ОО
\ 4>хоо dx =¦ 1 = 4лА2 \ ехР (~ р) Р2 dP•
о о
Интегрируя по частям, находим
^ ехр (-. р) р2 dp = - р2 ехр (- р) - 2р ехр (- р) - 2 ехр (- р). (8)
314 ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ ЗАДАЧА 65
Величина интеграла равна 2 и
А-Ж- м
Принцип Паули позволяет двум электронам иметь одну и ту же собственную
функцию фюо в основном состоянии, если их спины противоположны.
Собственная функция основного состояния невозмущенной системы
представляет собой произведение собственных функций двух электронов:
Ф1оо(П> = Фюо (п)' Фюо ta)-
Энергия этого состояния равна сумме энергий каждого из электронов и в Z2
= 4 раза больше энергии основного состояния атома водорода.
2. Если подставить разложения (4) и (5) в уравнение (3) и приравнять
соответственно члены с нулевыми и первыми степенями е, то полученные
тождества для е приводят к уравнениям
¦^оФоп ~ WОлФолп
ад + ^Фоя = ^оЛ + ПФо"- (10)
Первое из этих уравнений - невозмущенное уравнение для системы (1). Если
во втором уравнении заменить гр' разложением
ф;=Е спп,\п"
П
то с учетом (1) получим
I <W ("V - V,.) = (in - я') (II)
п
Умножая обе части этого уравнения на ф*№ и интегрируя по всему объему,
находим
\ Ф;"Фwdx=W'n \ ф;"Ф0ndx-\ ^0nH'%ndx
п'
или, принимая во внимание условия ортогональности и нормировки,
К= С2)
Это и есть искомое выражение. Видно, что сдвиг энергетического уровня п
равен среднему значению возмущения для невозмущенной системы в состоянии
п.
3. Если применить выражение (12) к задаче об основном состоянии гелия,
где (7) определяет возмущающий член, то находим
~ S S ^ю° (Л) *100 (Л) фюо (ri) (Л) drx drr (1^)
ЗАДАЧА 65
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
315
Произведение представляет собой плотность электриче-
ского заряда в некоторой точке, обусловленную присутствием электрона.
Следовательно, уравнение (13) представляет электростатическую энергию
двух сферически симметричных распределений, каждое из которых относится к
одному электрону. Тогда с учетом (2) и (9) выражение для энергии
запишется в виде
^ [ [ ~ (~-Pl)--X-P (-Р2)- dxt dr2, (14)
г о (8зт)2 4яе0 J J Р12 ^ '
где pi2 = (4/г0) г12, причем элементы объема dri и dt2 выражаются как
функции pi и р2 соответственно. Чтобы оценить этот интеграл, напишем для
каждой точки выражение для кулонов-ского потенциала, обусловленного
объемной плотностью ехр(-pi), а затем для энергии в этой точке другого
заряда с объемной плотностью ехр(-р2). Заряд
dQl = ехр (- р,) 4яр2 dpl
находится в сферической оболочке толщиной dpi. Во внутренней точке он
создает потенциал, равный по величине dV = = dQi/pi. Во внешней точке,
расположенной на расстоянии р2 от центра заряда, последний создает такой
же потенциал, как если бы заряд, распределенный в оболочке, был
сосредоточен в центре, а именно dV' = dQ\!p2¦ Тогда потенциал,
обусловленный распределением плотности e-i|)(pi), равен
р2 °о
V (р2) = 4л ехр (- Pi) dpi + 4л ехр (- pt) ?! dpu
о р2
Используя (8) и интеграл
J ехр (- р) р dp = - р ехр (- р) - ехр (- р), (15)
находим
V (р2) = ^ [2 - 2 ехр (- р2) - р2 ехр (- р2)].
В этом случае интеграл (14) принимает вид
3 = 5 v (Р2) dQ2,
и, считая dQ2 зарядом сферической оболочки, получаем dQ2 = 4лр1 ехр (-
р2) dp2,
00
3 = (4я)2 J [2р2 ехр (- Р2) - 2р2 ехр (- 2р2) - р\ ехр (- 2р2)] dp2
