Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
-jg- (sin 0 д gg22 ) = с/ (г) ехр (2/ф) [4 sin 0 cos2 0 - 2 sin3 0],
52,Фл22 - ~ h2cf (г) ехР (2/ф) [4 cos2 0 - 2 sin2 0 - 4] =
= h2cf (г) exp (2/ф) 6 sin2 0 = 6/г2фл22.
302
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 62
Таким образом, фп22 есть собственная функция G2 с собственным значением
6Ь2, которое должно быть равно l(l-\-\)h2 и, следовательно, должно иметь
требуемое значение при I = 2.
3. Оператор Gx определяется формулой
Gx = - /А (sin ф-jg- + ctg 6 cos ф-^-),
откуда
Gxtyn22 - - /^ (- 2 sin ф sin 9 cos 0 - 2/ ctg 0 sin2 0 cos ф) фп22.
Правая часть этого уравнения не равна произведению константы на ф"22,
следовательно, фп22 не является собственной функцией Gx. Это справедливо
и для Gv.
ЗАДАЧА 62 Эффект Комптона
I
Монохроматический пучок у-лучей падает на очень тонкую металлическую
фольгу, находящуюся в вакууме в однородном магнитном поле В. Определите
энергию, частоту и длину волны падающего излучения при следующих
условиях: R- радиус кривизны траектории испускаемых электронов в
плоскости, перпендикулярной полю В; Кк - длина волны, соответствующая
работе выхода из металла; постоянные h, с, те и е заданы. Релятивистскими
поправками можно пренебречь.
Численные данные: В = 15-10~4 Тл, R = 0,10 м, %к = 0,15 А,
II
Монохроматические у-лучи проходят через водород. Воспроизведите теорию
эффекта Комптона с применением релятивистской механики. Рассчитайте длину
волны фотона, рассеянного на угол 0 = 90° относительно направления Ох
падающего пучка фотонов.
Вычислите кинетическую энергию WK электронов, получивших импульс в
направлении, составляющем угол ф с направлением падения Ох, как функцию
отношения а. = Хк№ (комптонов-ская длина волны больше длины волны
падающего фотона). Найдите соотношение между углами ф и 0. Покажите в
полярной системе координат зависимость энергии рассеянного фотона и
электрона отдачи от углов ф и 0.
ЗАДАЧА 62 КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 303
РЕШЕНИЕ
I
Энергетический баланс для уфотона с частотой v и длиной волны Я может
быть записан в виде
hv = h-j- = (работа, требуемая для вырывания электрона) Д-+ (кинетическая
энергия электрона). (1)
Энергия укванта достаточна для ионизации атомов металла путем вырывания
из них /(-электронов, и в случае, когда это происходит, энергия,
необходимая для удаления электронов из металла, пренебрежимо мала.
Считая, что электрон подчиняется законам механики Ньютона, записываем
уравнение (1) в виде
he he кк
х Т7 + ТтЛ (2)
Скорость электрона v, имеющего заряд е и массу те, находится из радиуса
кривизны R, которую имеет его траектория, перпендикулярная магнитному
полю В:
eBR 1,6 • 10-19 • 15 • 10~4 ¦ 10-1 07 ,Л6 ,
v =------=-----------------г:---------= 27-10" м/с.
те 9 • 10
Отсюда энергия фотона
he _ 6,62 • 10~34 • 3 • 108 . 9 1Л-31 -,ОА 1П12__1Ссг ш-16
X _ 0,15- Ю'10 2
его частота
+ - • 10-dl • 729 • 10 = 165 • 10~'° Дж;
W 165-10 16 ос ,л18 г
v = - =-----------= 25 • 10IS Гц;
h 6,62-10-34
его длина волны
я=Т==^Т1?г = 0'12 • 10"'° М==0-12Л-
II
В релятивистской механике закон сохранения энергии при комптоновском
рассеянии записывается в виде
+ <3)
где р = vjc - отношение скорости электрона к скорости света. Сохранение
импульсов вдоль осей Ох и Оу (фиг. 62.1) может
304
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 62
быть записано следующим образом:
те$с
h h "
-------------COS 0 =
Я Я
h . _
- Sin 0 : Я'
Vi -Р2
чге(3с
Vi
COS ф, ЭШф.
(4)
(5)
Исключая из уравнений (3) - (5) ф и скорость электрона рс, получаем для
комптоновского смещения
Я'-Я = - (1 - cos 0) = -^-sin21- = 0,0485 sin2 4- (6)
тес
тес
Фиг. 62.1
При 0 = 90°
Я' = 0,12 +
0,0485
= 0,1443 А.
Уравнение (6) можно записать в виде
Я' = Я [I + а (1 - cos 0)], где а = hv/tnec2, или
/ v
v
1 + а (I - cos 0) ' ^
Из (3) и (7) получаем выражение кинетической энергии элек-
а (1 - cos 0)
трона
Wk = h(v - v') = Av
1 + <* (1 - cos 0)
(8)
Исключением p из (3) - (5) и (7) получаем соотношение между 0 и ф:
1 - cos 0 = - , /t ,2"Ч2Д"г~' > (9)
+ (1 + a)2 tg2 ф '
что при подстановке в (7) дает Wk = hv
2а
(10)
1 +2а + (1 + a)2tg^ *
Это и есть искомое выражение. Уравнение (9) также можно за писать в виде
П _L"V2tfT2m^ 1 +_?Q5 0 1---.
ЗАДАЧА 63 КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 305
отметим, что 0 и ф всегда противоположны по знаку:
ctg ф = - (1 -h a) tg . (11)
В табл. 62.1 приведены значения ф, hv'/hv и Wh/hv в зависимости от 0.
Таблица 62.1
е 0 л/6 я/4 л/з л'? 2Л/3 Зл/4 л
cos 0 1 0,866 0,707 0,500 0 -0,500 -0,707 - 1
tg 0/2 0 0,268 0,414 0,577 1,00 1,732 2,414 оо
ctg ф 0 0,282 0,435 0,605 1,05 1,82 2,53 оо
<р° 90 74,25 66,5 58,8 43,6 28,8 21,55 0
hv'/hv 1 0,875 0,764 0,656 0,488 0,388 0,358 0,322
W"/hv 0 0,125 0,236 0,344 0,512 0,612 0,642 0,678
4
Фиг. 62.2
На фиг. 62.2 графически представлены различные случаи из этой таблицы.
ЗАДАЧА 63
Формула излучения Планка
1. Рассмотрим изотермическую полость, содержащую линейные
гармонические осцилляторы, обладающие собственной частотой vo и дипольным
моментом d, число которых в единице объема равно N. При тепловом
