Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, если в уравнении (31) в задаче 14 принять qо, = qs
или щ = ns = п\, то можно записать
Т = 1 + [("2 - "?)74л?лЮ °2d ' 02)
Формула Френеля позволяет записать соотношение
*' = (^ft)'- <13>
и уравнения (11) и (12) становятся идентичными.
2. Потенциальный барьер, подобно диэлектрической пластинке, совершенно
прозрачен, когда sin a2d = 0 или d - К2/2. Следствием этого квантового
эффекта является эффект Рамзауэра.
Электронный пучок с энергией приблизительно 0,1 эВ проходит через
инертный газ (неон или аргон), как если бы на его
пути не было никаких атомов. При этой энергии атомы оказы-
ваются для электронов практически прозрачными. Когда энергия электронов
больше или меньше этой величины, они рассеиваются вдоль своего пути.
ЗАДАЧА 58
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
291
III
W < W2, стi = ст3 (фиг. 58.2).
Запишем решения уравнения Шредингера ^, = 6-/01* -f re+ia'x,
фп = Ae~a'-X + Яе+°Д (14)
i>ui = te-i°'x.
Уравнения (5) и (6) принимают вид
(1+Г) = Л + В' (15)
М (1 - /") = G'i(A - В)\ к }
Ae~0ld + Be+°!d = te->Cld,
а2 [Ae~02d - Be+a-d] = ja{te
Решение этих уравнений имеет вид [достаточно заменить ja2 на а2 в
уравнении (6)]
t==____________4/0i02e~/(M____________
(0, + /о,)" e~a'-d - (0 - /0,)2 e°2d '
Поскольку внешние среды идентичны, получаем (учитывая, что 2shx = ex- е~х
и / sin л: = sh jx)
aJI 2
T - \t\2 =---------------------------. (18)
40j02 + (о2 + 02)2 sh2 a2d
Численный пример:
a2 = a2 -> T 1
o.d _ Rp+o4\ - jrt.fe-W
i 2 i + sh2 a2d '
_ j V2m(W0-W) , o2d ¦-¦ j d.
Для электрона
. 2 • 3,14 д/2 • 0,9 • Ю-30 ¦ 1,6 • 10-19 1A-io
a2d =---------------------- :---------------------:- Ю ,
6,62-10-34
02^ = 0,51, sha2d = 0,53,
T _ 1 1
1 + (0,53)2 - 1 + 0,28 '
T = 0,77,
R = 0,23.
Для протона m = 1840me, o2d = 22, а член ехр(02^)> появляющийся в
уравнении
sh a2d = y [exp (o2d) - exp (- o2d)],
имеет порядок 1010, Следовательно, T ж О,
10*
232
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 59
ЗАДАЧА 59 Дейтрон
Ядро дейтерия (тяжелый водород), называемое дейтроном, состоит из протона
и нейтрона, связанных друг с другом силой притяжения, обусловленной
центральным потенциалом Wv(r). Считайте, что массы протона и нейтрона
одинаковы (это верно с точностью до 0,007) и равны 1,672-10-27 кг.
1. Напишите уравнение Шредингера, независимое от времени, для дейтрона в
системе координат, связанной с центром масс.
2. Напишите радиальное волновое уравнение для случая, когда нейтрон
находится в сферически-симметричном состоянии.
о .г
Фиг. 59.1
3. Эксперимент показывает, что, когда дейтрон находится в основном
состоянии, абсолютная величина энергии связи | W71 = = 2,23 МэВ.
Определите знак энергии и поясните его смысл. Считайте, что энергию
взаимодействия Wp(r) в первом приближении можно представить с помощью
прямоугольной потенциальной ямы, у которой Wp(r) = -Wо для г < г0 и Wp(r)
= 0 для г > г0 (фиг. 59.1). Принимая, что основное состояние является
сферически-симметричным, определите соответствующую волновую функцию
(которая должна вместе со своей первой производной быть однородной,
непрерывной и ограниченной).
Считайте, что в волновом уравнении гфг(^) = и (г).
4. Вычислите радиус г0 потенциальной ямы, характеризующий длину ядерного
взаимодействия, для W0 - 21 МэВ (для г0 выбирается наименьшее возможное
значение).
5. Вычислите вероятность того, что г больше или меньше г0.
РЕШЕНИЕ
1. Система эквивалентна частице с массой jj, = m/2. Независимое от
времени уравнение Шредингера имеет вид
ЛФ + тР-[^-иМг)]Ф = о.
(1)
ЗАДАЧА 59
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
293
2. В сферически-симметричном состоянии (б'-состоянии), •ф = const-
i|v(r). Лапласиан имеет вид
/ 2 dar г2 dr v dr )'
а волновое уравнение
3. Энергия связи определяется разностью между энергией
двухкомпонентной системы и энергией составляющих компонент в состоянии
покоя при их бесконечном удалении друг от друга. Следовательно, она
отрицательна, так как протон и нейтрон притягиваются друг к другу.
Значение энергии основного состояния W - -2,23 МэВ есть собственное
значение уравнения Шредингера для этого состояния.
Принимая гфг = "(г), имеем
fif-фr 1 du и d2tyr ___ I d2u 2 du , 2"
dr г dr г2 ' dr2 г dr2 г2 dr г3 '
и уравнение (2) принимает вид
При г > г0 имеем Wp = 0 и решение уравнения (3) является экспонентой (так
как W < 0), так что
В равно нулю, так как г-1 ехр (/О) не ограничено в бесконечности.
При г < г0 имеем Wp < W; энергия W равна сумме кинетической и
потенциальной (не нулевой) энергии. Решение уравнения (3) является
гармоническим:
С равно нулю, поскольку г-1ехр (К'г) не ограничена в начале координат.
Синусоидальное решение оказывается справедливым, поскольку при г->0
Используя условия непрерывности для и и du/dr при г - rQ, получаем
(2)
1 d2u
ТЧг2
+ %r[W-Wp\± = 0.
(3)
и (г) = А ехр (- Кг) + В ехр (Кг), где К
и (г) = С cos К'г -f D sin К'г, где К'
Ут(Г0 -1UH)
й
D sin К'г0 = А ехр (- Кг0),
DK' cos К'г0 = - АК ехр (- Кг0),
(4)
294
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 59
