Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Руссо М. -> "Задачи по оптике" -> 73

Задачи по оптике - Руссо М.

Руссо М., Матье Ж.П. Задачи по оптике — М.: Мир, 1976. — 415 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachipooptike1976.pdf
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 108 >> Следующая

Н' = - -
4я г2 •
Кроме того, известно, что М равно магнетону Бора, так что '
ч еЬ М = -^-.
2 те
Условие Н Н' ведет к тому, что
h " 2pr, (1)
где р = mev. Соотношение неопределенности дает
А г • Apmh,
что при А г ег приводит к
НС г Ар,
то есть к неравенству, противоречащему (1),
ЗАДАЧА 58
Потенциальный барьер
Поток частиц с одинаковой скоростью, с массой т и постоянной полной
энергией W, двигаясь от х' к х, встречает потенциальный барьер шириной d.
ЗАДАЧА 58
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
287
1
Поперечное сечение барьера показано на фиг. 58.1:
Wp = Wl = 0 для х < О,
Wp - W2 для 0 < х < d,
Wp - W3 для х > d.
Запишите условия непрерывности для волновой функции, свя-
занной с этими частицами, и для ее первой производной. Получите
коэффициент пропускания Т потенциального барьера (отношение прошедшего
потока к падающему) как функцию d и
W '




1 II III
Wj
_______________LJ____________________i_
х' 0 d
волновых векторов о\, о2 и о3, соответствующих областям /, II и III.
Считайте, что W больше Wv. (Начальная энергия частиц является чисто
кинетической.)
II
Рассмотрите частный случай, когда W3 = и W > Wp (фиг. 58.2). Получите
коэффициент пропускания Т для этого
х' 0 d х
барьера как функцию коэффициента отражения Ri в точке разрыва потенциала
О. Проведите аналогию между этим выражением и выражением для пропускания
электромагнитных волн, падающих на стеклянную пластинку с
плоскопараллельными поверхностями. Считайте, что показатель преломления
пластинки равен п2 и что она находится в однородной среде с показателем
преломления щ.
288
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 58
III
Используя описанный выше потенциальный барьер, рассмотрите случай W < Wp.
Вычислите Т, если W - 1 эВ, W2 - 2 эВ и d = 1 А для электронов и
протонов.
РЕШЕНИЕ
Асимметричный барьер I
Записываем уравнение Шредингера для области I:
** .1 ,2,u_n - _ _ V2^F
dx2
для области II:
d2i|) . о " ^2m(W-W2)
-^r+ofr|з = 0, где сг2 = --------^; (2)
для области III:
d2i|) , ,, . " ¦y/2m(W- Wb) /оч
_±- + а2^==0> где а3 - ---^-------SL. (3)
В области I и II имеются прямая и отраженная волны. В
области III, которая, по предположению, тянется до
бесконечности,
имеется только прямая волна.
Решения уравнения Шредингера соответственно для этих трех областей имеют
вид
-фх = e~ia'x + re+i0lX,
¦фи = Ae~ia'x + Ве+!а*х, (4)
Фш = te~!°3X.
Вспомните вывод условий непрерывности. Функция ф, квадрат которой
является мерой плотности вероятности для частиц
в некоторой точке вдоль направления х'х, может иметь в этой
точке лишь единственное значение. Кроме того, поскольку величины энергий
W2 и Wз конечны, уравнения (1) - (3) показывают, что вторая производная ф
также конечна. Таким образом, первая производная непрерывна. Уравнения
непрерывности в плоскости х - 0 записываются в виде
1 + г = А + В, ol(l-r) = a2(A~B) (5J
ЗАДАЧА 58
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
289
и в плоскости х = d')
A exp (- ja2d) + В exp (jo2d) = t exp (- jo3d), a2 [A exp (- jo2d) - В
exp (jo2d)] = to3 exp (- jo3d).
В задаче 14 уже решалась подобная система уравнений. Достаточно заменить
t на /ехр(-jo3d) в уравнении (25), а в правой части q0, q и qs на оь о2 и
а3, а также k0 на о2-
Беря модуль этого выражения, получаем коэффициент пропускания для
барьера:
<А (СТ1 + СТз)2 + (СТ2 - (СТ2 - <*з) Sin2 °2d '
(7)
Замечание. Полезно показать соответствие некоторых результатов физической
и квантовой оптики, полученных в задачах 14 и 58.
Диэлектрическая пленка
Записываются условия непрерывности для тангенциальных компонент
электрического и магнитного полей.
В результате получаются
уравнения (18) и уравнения (19) и
Различные среды характеризуются своими показателями преломления (п0> П\,
...) и, следовательно, различными длинами электромагнитных волн (>"о =
с/п0, Xi = с/пь ...).
Потенциальный барьер
Записываются условия непрерывности для волновой функции частицы и для ее
первой производной.
одинаковые уравнения:
(22) уравнение (5),
(23) уравнение (б).
Различные области характеризуются своей потенциальной энергией Wp(x) и,
следовательно, различными длинами волн, связанных с частицами, и
соответствующими волновыми числами:
_ 2я __ V2m (W - Wx)
°1 ~ It ~ Ь
о2, .. .
*) В правой части надо писать экспоненту, а не t, как это было в случае с
тонкой пленкой [уравнение (12), задача 14]. Только при этом условии
коэффициент сгз входит во второе уравнение (6). В дальнейшем при расчете
Г экспоненту ехр(-ja3d) перестают учитывать.
10 Зак, 173
290
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 53
II
W > W2, о = сг3.
Уравнение для Т упрощается к виду
1 + [(сг| - cr?)2/4ajcr|] sin2 a2d ' ^ ^
С другой стороны, коэффициент отражения в точке О получается на основе
уравнения, которое можно записать как
W(W-W2)/W сг, - сг 2
(9)
1 + У(№ _ w2)/W a, + а2 ' откуда следует
Л'=-'=(-1г^г)г- <10>
Коэффициент пропускания потенциального барьера Т = 1 + [4/?]/(1 - ?,)2]
sin2 сr2d •
Замечания.
1. Коэффициент пропускания тонкой пластинки имеет такой же вид.
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 108 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed