Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Руссо М. -> "Задачи по оптике" -> 71

Задачи по оптике - Руссо М.

Руссо М., Матье Ж.П. Задачи по оптике — М.: Мир, 1976. — 415 c.
Скачать (прямая ссылка): zadachipooptike1976.pdf
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 108 >> Следующая

1. Пусть все частицы имеют одну и ту же скорость. Обозначив энергию
частиц через W, а импульс через р, напишите выражение для волны де
Бройля, связанной с частицами. Напишите выражение для фазовой скорости уф
через W и р. Выразите также уф как функцию и и с - скорости света в
вакууме.
2. Представьте, что имеет место некоторое распределение скоростей вблизи
значения и, вид которого неизвестен. Можно ли записать выражение для
волны де Бройля? Покажите, что групповую скорость vg можно выразить в
общем виде как
dW vs~ dp '
Представьте vg как функцию средней скорости частиц и. Каково соотношение
между фазовой и групповой скоростями?
3. Частицы представляют собой электроны, скорость которых и такова, что
длина связанных с ними волн К равна половине комптоновской длины волны
Кс.
Вычислите: а) их скорость и; б) фазовую и групповую скорости связанных с
ними волн; в) массу т\ г) разность потенциалов V, необходимую для
достижения этой скорости, если предположить, что электроны испускаются
горячим катодом с нулевой начальной скоростью.
Комптоновская длина волны = 2hlmac.
II
Замените поток частиц потоком фотонов, имеющих такую же частоту v, как
волна де Бройля, связанная с частицами. Фотоны проходят через
непоглощающую среду с показателем преломления п. Обозначьте через К' и
соответственно длину волны и волновое число в среде.
1. Считая поток монохроматическим, выразите фазовую скорость уф как
функцию v и v'.
ЗАДАЧА 56
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
279
2. Поток фотонов не может быть строго монохроматическим. Покажите, что с
помощью v и v' групповую скорость фотонов vg можно представить аналогично
групповой скорости частиц в I, 2.
3. Каким должен быть дисперсионный закон для среды n = f(K), чтобы.vg и
оф были связаны таким же соотношением, как в I, 2 для волн, связанных с
частицами?
4. В какой области электромагнитного спектра мог бы выполняться такой
дисперсионный закон для материальной среды? Покажите, что этот закон
является предельным случаем общего закона дисперсии, справедливого для
областей спектра, удаленных от полос поглощения:
где vo - волновое число в вакууме, voi- волновое число, соответствующее
центру полосы поглощения, и Л4- постоянная. Полосы поглощения находятся в
видимой, инфракрасной и ближней ультрафиолетовой областях спектра.
1. Для частицы, движущейся равномерно и прямолинейно, импульс р = mu
является постоянной величиной. Энергия W также постоянна. Она является
полностью кинетической, не считая энергии покоя, оценка г " ебует
применения теории относительности. Основные с ш
позволяют связать движение частицы с плоской гармонической волной
где Л - постоянная, а х - направление движения волны. Отсюда длина волны
Фазовая скорость определяется соотношением
Для того чтобы выразить в виде.функции и я с, необходимо взять для v
значение, соответствующее полной энергии, определяемой теорией
относительности, а именно W = т\с2, где т -
РЕШЕНИЕ
I
О)
(2)
р = hv
(3)
Уф = Ял\
(4)
¦280 ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ ЗАДАЧА 56
инертная масса. Импульс р здесь равен ти, и (4) можно записать в виде
Л Г с2 vv~ р ' h ~ и ' ^
2. Распределение скоростей частиц соответствует распределению их
импульсов. Монохроматическая волна (3) заменяется группой волн:
+ оо
y?(x,t)= jj f(p)exp{-L{Wt - px)}dp. (6)
- ОО
Это выражение показывает, что 'F имеет максимум внутри области Ар,
окружающей р. Максимальное значение достигается, когда фаза волны
Ф = Wt - рх
остается в этой области почти неизменной, то есть когда
ар ар
Центр группы волн движется равномерно со скоростью, которая и является
групповой скоростью
х dW
^ = - = (7>
Из теории относительности следует: W2 - т2с* + р2с2, откуда WdW = t2pdp,
и из (5) следует, что
ф
Групповая скорость равна скорости частицы.
3. Длина волны для рассматриваемых электронов равна
^ 2 т0с
Нерелятивистский расчет дает
Р h
т0 Хт0 '
что является неприемлемым. Необходимо учитывать релятивистское изменение
массы:
h Vl - (u2/c2)
V'-?'
•откуда
ЗАДАЧА 56 КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 281
Из (8) находим
а из (5)
V* л/2"
С
д/2.
Масса электрона, имеющего скорость и, равна
т = -7=то - = то V2 •
rn Vl - ("7с2)
Его кинетическая энергия полностью определяется действием
электростатических сил:
eV = Wk = (т - т0) с2 = 0,414/п0с2,
откуда
V = 0,414 ЛЕЕ- = о 414 -',с>' • 9 ¦ 10I6 = 2,22- 104
В.
е 1,6-КГ19
II
1. По определению
оф = Я,\ = -?-.
2. С учетом основных соотношений (1) и (2) группа волн (6) может быть
записана в виде
-Г VN/
(х, t)= ^ f (v0 exp {2л/ (vt - v'x)} dv, (9>
что соответствует электромагнитным волнам. Те же рассуждения, которые
проводились при получении (7) из (6), в этом случае дают
<10>
3. Из уравнений (5) и (8) следует, что
¦-
Vg • Уф = С ,
что с учетом (10) и v' = v/v4 дает
или
J "ф _ d / у\
vg - с2 - dv I, v<f>)' ^dv = -±d(^-) = ±d(EL)2>
с2 % \vvJ 2
282
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 57
отсюда
где К-положительная или отрицательная постоянная. Таким образом,
окончательно
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 108 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed