Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
откуда
K'ctgK'ra=-K (5)
или
V^o-I^lctg Vm(^o-l^l) Гр==_угп. (6)
4. При \W 1 = 2,23 МэВ и W0 = 2l МэВ имеем
2-3,14 -\/1,672 • 10-27• 2,23 • 106 ¦ 1,60 ¦ 10~19 " QO
к=------------------в,ю. ю"<-----------------2,32-10 м ,
К'=Кл/^щр- = 2,32- Ю"^-Щ-=6,72-Ю'<
Используя (5), находим
ctg К'г0 - -0,345,
К'г = ~ + arctg 0,345 = - + 0,332 + пп (п - целое число).
Наименьшее значение г0 равно
г 1,571 -р 0,332 ~ оо 1 rv-15
0 g 72 . ]QH 2,00 • IU М.
5. Вероятность того, что расстояние между протоном и нейтроном превышает
г0, находится следующим образом:
оо оо
Р- ^ I Ф I2 4яг2 dr - 4лЛ2 ^ ехр (- 2Кг) dr = - ехр (- 2Кг0).
Го Р')
Вероятность, что это расстояние меньше г0> равна
Гд ^
Р' = ^ I 'Ф I2 4nr2dr = 4яD2 ^ sin2 K'rdr = (к'г0 - у sin2 К'г0^ .
о о
Отношение этих двух величин при учете (4) равно
Р __ К' А2 ехр (~2Кг0) _ К' sin2 К'г0
Р' ~ К D2 K'ra-'/2smK'ra К К'га - '/2 sin 2К'га '
Имеем К'го = 1,903, sin К'га = 0,945, sin 2К'га = -0,615 и Р/Р'= 1,17.
Поскольку Р Р' - 1, Р = 0,54 и Р' = 0,46.
В основном состоянии дейтрона протон и нейтрон большую часть времени
проводят вне области действия ядерных сил. Это объясняется небольшим
значением связывающей силы W.
ЗАДАЧА 60
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
295
ЗАДАЧА 60
Двойная потенциальная яма 1
Частица с массой т может двигаться вдоль направления Ох •в области, где
потенциальная энергия принимает следующие значения:
л: < 0, ^ = 00,
О < л: < а, № = 0 (область /),
a<x<a-\-b, W = W0 (область II),
а-\- b <х <2а + Ь, № = 0 (область III),
2а -f b < х, W = оо.
1. Покажите, что волновая функция частицы может быть представлена в
виде:
ф! = Л sin ох,
ф2 = Вет'(*-а-&) Се~а'<х~а\ ф3 = D sin о [х - (2а + Ь)\
в областях I, II и III соответственно.
Чему равны значения о и о', когда энергия частиц W меньше чем №0?
2. Напишите условия непрерывности волновой функции для разных стенок ямы.
Какие соотношения можно получить между А и D, с одной стороны, и В и С -
с другой?
3. Пользуясь этими соотношениями, напишите уравнение, определяющее
возможные значения энергии частицы W в виде
tgoa = f(o, o'). (1)
При достаточно большой величине b (насколько большой?) это уравнение
можно записать в более простой форме
tgoa = f0(o, o'). (2)
Решите его графически, пользуясь следующими численными значениями:
а = 0,4 A, h = 6,6 • 10"34 Дж • с,
№0 = 0,20эВ, е = 1,6 • Ю-19 Кл,
т = 5 • 10~27 кг, Ъ измеряется в А.
Получите возможные значения W.
296
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 60
II
Предположите теперь, что b мало. Покажите, что (1) может быть приближенно
записано в виде
tg ста = f0 (ст, ст') (1 ± 2ri), (3)
где ц- малая величина, зависящая от Ь. Покажите, что имеет место
расщепление уровней, определенных в 1,3.
При каком значении b интервал этого расщепления для первого уровня
составит 0,8 см-1? Какова при этом величина расщепления в см-1 для
второго уровня?
III
Величина расщепления, приведенная в предыдущем вопросе, относится к
случаю инверсии в молекуле NH3. Покажите количественно, что изменится для
молекул ND3 (необходимо взять двойное значение mi) и для РН3 (нужно
утроить значение 1К0).
РЕШЕНИЕ
I
1. Поскольку энергия W частицы меньше высоты W0 потенциального
барьера, частица, согласно классической теории, может пребывать только в
области / или в области ///. Согласно
lOO ОО /
1 II III
J 1--
а а+Ъ 2а+Ь
квантовой теории, она не может существовать в левой области I или в
правой области III, но может переходить из / в III или из III в / (фиг.
60.1). Волновое уравнение для стационарных состояний в областях / или
III, где Wp = 0, имеет вид
-Цг^ + ч^-о.
Его решение является гармоническим, и ф должно стремиться к нулю при х =
0 и при х = 2а + Ь. Следовательно,
о ¦ ф] = Л sin ох,
¦фз = D sin ст [х - (2а + 6)],
ЗАДАЧА 60 КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 297
где а = '\f2mWlh. В области II волновое уравнение имеет вид
;?r-?S-+<"7-"w=0-
Поскольку W •< Wp, решение этого уравнения является гармоническим в
области между х = а и х = а + Ь, так что
г|)2 = В ехр (а'х) + С ехр (- а'х),
где
л/2т (W0 - W) а =---------w------.
2. Условия непрерывности для г|з и dty/dx получаются в виде для х = а:
A sin аа - В ехр (а'а) + С ехр (- а'а), '
о A cos аа - а' [В ехр (а'а) - С ехр (- а'а)\\ для х = а + Ь:
В ехр [а' (а + Ь)\ + С ехр [- а' (а + b)] - D sin аа, а' {В ехр [а' (а +
6)] - С ехр [- а' (а + b)]} = - Da cos аа.
3. Путем исключения В и С из четырех написанных выше уравнений находим
l) Лехр(о'й) = (-^-tgaa - 1 )d, tg ста - 1)Лехр(- a'b) = tgaa+ l)/).
Эти два уравнения совместимы при условии
("y'tg аа + l) ехр(а'б) = ± (-^-tgaa - l),
откуда
, a ( 1 d= ехр (- а'Ь) 9 ...
Это и есть искомое общее соотношение. Если b достаточно ве-
лико, так что а'Ь намного больше единицы, уравнение (1) упрощается и
принимает вид
tgaa = - -?-[1 ±2ехр(- а'Ь)]. (2)
В первом приближении не будем учитывать экспоненту, которая мала по
сравнению с единицей, и тогда получим, что
tg aa = -^r (3)
и не зависит от Ъ.
298
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 60
