Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
Д1 = "2=1 + =1+Щ,
Оф V2
где ко - длина волны в вакууме.
4. Это уравнение согласуется с законом дисперсии, приведенным в тексте
для vo; v?; в результате имеем
"2=1 -iLdi
%
ИЛИ
n2 = l - AoZ At.
Это выражение справедливо для рентгеновских лучей и для всех тех случаев,
когда длина волны намного короче длин волн полос атомного или
молекулярного поглощения.
ЗАДАЧА 57
Пять упражнений на соотношение неопределенности I
С помощью интерферометра Майкельсона на первый взгляд кажется возможным
определить, будет ли фотон, связанный с волновым цугом, отражаться от
того или другого из двух зеркал интерферометра путем измерения отдачи
зеркал. Используя соотношение неопределенности, покажите, что такое
измерение несовместимо с сохранением когерентности интерферирующих
волновых цугов.
РЕШЕНИЕ
Для сохранения когерентности необходимо, чтобы неопределенность в
положении зеркал была намного меньше, чем длина волны света. Если Ах <С
Я, соответствующий импульс отдачи должен быть равен
где h/k- импульс фотона. Следовательно, такой опыт невозможен.
ЗАДАЧА 57
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
283
I]
Исходя из мысленного эксперимента по измерению положения с помощью
"микроскопа Гейзенберга", установите коротковолновый предел при
измерениях длины, определяемый соотношением W = /гу.
РЕШЕНИЕ
Использование излучения с длиной волны %о позволяет измерить минимальную
длину порядка Д/ л; Л0/2 sin и с помощью микроскопа с численной апертурой
sinu. Нижний предел Ki используемых для этого длин волн % соответствует
собственной энергии частицы т0с2. Таким образом,
где %i - комптоновская длина волны для случая, когда частица является
электроном
lt = - = 2,42- 10"12 м.
1 тес
Для более тяжелых частиц, таких, как атомные ядра, предельные значения
уменьшаются, но только до величины порядка 10-15 м. Измерение длин,
намного меньших этой величины, не имеет физического смысла ').
Ill
Согласно квантовой механике, гармонический осциллятор с массой т и
частотой v обладает в основном состоянии остаточной, "нулевой", энергией
W0 = 1/2/iv с соответствующей нормированной собственной функцией
^ = У^ехр(-тЙ-
где х - смещение от положения равновесия, a a - -y/h/4n2vQm- амплитуда
колебаний. Вычислите среднее значение (х) и ( (Л*)2) = ((х ~ ix))2) и
покажите, что если энергия имеет точное значение Wq, то его можно
получить из соотношения неопределенности ((Ал:)2) {(Арх)2) ^ й2/4.
*) L. Brillouin, Science and Information Theory, ch. 16.
284
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 57
РЕШЕНИЕ
Среднее значение хравно
+ оо _____ +00
<*> = 5 х%йх = 5 хехр (- -^г) dx = О,
- оо - ОО
так как это интеграл нечетной функции. Среднее квадратичное значение
изменения х равно
((Ах)2) = ((х-(х))2) = (х2),
поскольку (х) = О, то
+ оо +оо
<(Длг)2) = J x2lftdx = s\J-~ 5 х2ехр (-
- оо -оо
Интегрирование по частям дает
<(Дxf) = д/^ [- 4 * exp ( - -g-)]^ +
+ Vi"T S ехр(~ ~?r)dx.
- оо
Первый член в правой части равен нулю, подобно (1). Значение интеграла
равно ал/п и
((Д*)2> = - = 8я2у/п •
Выражение для энергии
р2
W = + 2n2v2mx2.
Если энергия определена точно, можно записать
Г=М + 2Л2шП
и, поскольку (р) = О,
W = + 2n2v2m ((Ах)2}.
Соотношение неопределенности
<(Д ^-((Д*)2"-^
дает
^ ^ 8т ((Дх)2) "^ ((Да:)2).
ЗАДАЧА 57
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
285
Это выражение имеет минимум при Минимальное значение Wq равно
W0 = hnv =
hv
~
IV
Исходя из соотношения неопределенности между импульсом частицы и
соответствующей координатой, оцените энергию основного состояния атома
водорода.
РЕШЕНИЕ
Энергия электрона на расстоянии г от ядра определяется уравнением
W=-?_____________-
2те 4яв0г '
Минимальная энергия получается при наименьших возможных значениях риг.
Однако, согласно требованиям соотношения неопределенности,
Ар - АгтаЬ.
Заметьте, что в записи этого выражения скорость является радиальной;
вследствие этого говорят, что угловой момент электрона в основном
состоянии равен нулю. Средние значения (г) и {р) не могут быть меньше Аг
и Ар соответственно. Таким образом, для минимальных средних значений
имеем
{г)-{р)жП,
так что
(W) Ь2 е2
2те{г2) 4я80 (г) ' Это уравнение имеет минимум при
(г)- ^
лтеег
Это значение радиуса первой боровской орбиты или наиболее вероятное
расстояние электрона от ядра. Минимальное значение энергии равно
гиг те*
w о ----------.
286
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 58
Предположим, что нужно измерить магнитный момент М, обусловленный спином
электрона, путем измерения магнитного поля Н, которое он индуцирует на
расстоянии г. Чтобы этот эксперимент имел смысл, мы должны иметь
возможность локализовать электрон в области А г <С г. Необходимо также,
чтобы магнитное поле Н', обусловленное движением электрона (со скоростью
и), было пренебрежимо мало по сравнению с полем Н. Покажите, что эти
условия не совместимы с соотношениями неопределенности.
РЕШЕНИЕ
Максимальная величина поля Н выражается (в А/м) следующим образом:
//=.±.4.
4я г
Максимальная величина поля, обусловленного движением электрона, равна
