Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
О
316
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 66
или, используя (8) и (15),
3 = (4я)2|.
Тогда для энергии (14) имеем значение
т.у, 5 4е2 (4я)2 10 е-
1 4 (8я)2 (4яе0) г0 4 (4яе0) 2г0 '
Теперь энергия основного состояния атома водорода выражается в виде
Энергия основного состояния атома гелия в пренебрежении электронным
взаимодействием, согласно п. 1, равна
Следовательно, исправленное значение энергии основного состояния равно
Видно, что значение W'it которое должно получаться при применении этого
метода, не так уж мало по сравнению с W0. Тем не менее полученный
результат имеет точность порядка 5%.
ЗАДАЧА 66
Возмущение второго порядка. Эффект Штарка для ротатора
1. Пользуясь общим методом возмущения, описанным во второй части
задачи 65, напишите уравнение для возмущения второго порядка. Для этого
замените член второго порядка ф" собственной функции состояния п
разложением в ряд по собственным функциям невозмущенной системы.
Покажите, что поправка второго порядка для энергетического уровня п
определяется формулой
(4яе0) 2г0 '
•откуда
W[ = - W, = + 13,56 = + 33,9 эВ.
U70 = 2- AWx = - 108,5 эВ.
W = Wa+W\ = - 108,5 + 33,9 = - 74,6 эВ.
п'фп.
(1)
2. Двухатомная молекула, имеющая момент инерции I относительно оси,
проходящей перпендикулярно линии, соединяющей ядра, через центр масс
молекулы и обладающая дипольным
ЗАДАЧА 66
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
317
моментом d, может быть рассмотрена как плоский ротатор. Она помещена в
постоянное однородное электрическое поле Е, перпендикулярное оси
вращения. Рассматривая действие этого поля как возмущение, получите
первый ненулевой поправочный член к энергетическим уровням такого
ротатора.
РЕШЕНИЕ
1. Вводя разложения в ряд (4) и (5) из задачи 65 в уравнение (3) из
той же задачи, находим для членов с е2
Нпф" + Я'ф' = Wn ф" + W ф' + W"фп
О тп I т п о п^п 1 п^п 1 п^Оп
ИЛИ
(Л - ^о") С = (К - н') t'" + w
Считая, в соответствии с указаниями в условии задачи,
t" = Е
П
и вводя это разложение в (2), а затем умножая каждый член на ф'п и
интегрируя по всему пространству, находим, пользуясь уравнением (10)
(задача 65) и разложением ф^,
? Упп' (Г0"' - Г0п) \ СЛ"' dx =
п'
= ? Cnn'Wn \ ^ln%n'dx~ ? Спп' \ tonH\n'dx + W" S t0>0" dx. п'фп п'фп
Вследствие ортогональности невозмущенных собственных функций интеграл
слева и первый интеграл справа равны нулю, а последний интеграл справа
равен единице. Таким образом,
r"= Z а.Л'ИЛ.-*-
п'фп
Для вычисления спп> вновь обратимся к уравнению (11) (задача 65) (изменяя
индексы п' и п") и умножим обе стороны уравнения на ф*д,. Получим
? Спп- (W0n' - W0n) 5 t^ton" dX = S toV (K - H') ton dx'
n"
откуда при n' Ф- n и с учетом уравнения (12) (задача 65) имеем
\ %п'Н'%п dx
Спп'= W0n-W0n,
318
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 66
г''= ?
""о. - "V
п'фп
что совпадает с уравнением (1).
2. Невозмущенный ротатор обладает только кинетической энергией.
Гамильтониан имеет вид
Я0 =
2L 21 '
где Gz- угловой момент. При подстановке вместо оператора Gz его значения
г _й_ _3_
2 ~ / эф '
где / = •yj- 1, а ф- переменный угол, уравнение Шредингера
Яо'Фо ~ ^о'Фо
принимает вид
- Ь2 дЧ° = W0$0. (3)
21 с?ф
Это уравнение имеет собственные значения
j=~ (4)
и собственные функции
^ = _ехр(+У7Ф), (5)
где J равно нулю или целому числу.
В однородном электрическом поле Е потенциальная энергия ротатора с
дипольным моментом d равна
Wp - - Е • d = - Ed cos ф.
Так как поле Е, перпендикулярное оси вращения, составляет
с d угол ф, то его удобно выбрать в качестве координаты.
Возмущение гамильтониана равно Н' = Wр, и уравнение (3) заменяется на
-§Т-#(^0 + ^СО5ф)ф = 0. (6)
Вычисляя поправку первого порядка с помощью уравнения (12) (задача 65),
находим
2Я 2Я
W'j = \ dV = - ~^r\ ехР У' ~ ^ ф1cos ф dcp' W
ЗАДАЧА 67 КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 319
Интеграл равен нулю, и в результате в первом приближении энергетический
сдвиг всех уровней также равен нулю.
Поправка второго порядка определяется уравнением (1), ко-торое
записывается здесь в виде
r"=Z -±ir=w • (8>
w01 w0 r
Значение W0j определяется уравнением (4), t(joj - уравнением (5). Тогда
имеем
2л 2Л
\ d(? = ~ W \ ехр[/'(/'-/)ф]соэф^ф.
о о
Известно, что этот интеграл равен нулю для всех значений J'-/, за
исключением значения ±1, при котором он равен я. Сумма (8) сводится тогда
к двум членам в соответствии с правилом отбора для ротатора А/ = ±1:
w" _ E2d2 ( л2_, л2 )
Wl 4я2 \ Г0/-Г0Л_, f W0J-WQ,J+l }'
XY7" E2d2 Г 2/я2 . 2/я2 I _ E2d2I
1 4я2 1 Й2 [Я- (/ - I)2] + Й2 [Р - (/+ 1)21 ) Й2 (4/2 -
1)
Таким образом, энергетические уровни возмущенного ротатора определяются
формулой
W, = W0j + W'! = + ЕЧЦ
21 п Й2 (4/2 - 1) '
ЗАДАЧА 67
Внутримолекулярный потенциал этана
Допустим, что функция Wp = -Wo cos 30 представляет собой изменение
потенциальной энергии молекулы этана при вращении двух метильных групп
друг относительно друга вокруг связи углерод-углерод. Угол 0 это угол
между C'CHi и СС'Н( (фиг. 67.1), a Wо - постоянная, характеризующая
молекулу.
