Задачи по оптике - Руссо М.
Скачать (прямая ссылка):
ЗАДАЧА 63 КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 309-
случаев излучения и поглощения. Оно хорошо представляет изотермы
абсолютно черного тела в области выше 2-1014 Гц (см. фиг. 63.1).
3. Пусть m>(v)-плотность излучаемой энергии в частотном интервале dv,
a dX-интервал длин волн, соответствующий dv.
Тогда
Xv = с, откуда v dX + X dv = 0,
и
да (v) dv = - да (Я) dX,
откуда
да (Я, 7) = ^- да (v) = -gffi- exp (h-rlXT _ ,r. (7).
Это выражение имеет вид w% = X~5f (1 /XT).
На фиг. 63.1 представлены изотермы абсолютно черного тела (7= 1600 К).
Кривая I описывается формулой (7), кривая II - выражением, полученным из
(4), а кривая III соответствует формуле, аналогичной (6).
Принимая х = hc/kTX, из (7) получаем
оо оо
w(T) = \w(X,T)dX = -^r\-f^r. (8).
о о
Этот интеграл не зависит от 7. Таким образом, полное излучение абсолютно
черного тела пропорционально Т4. Это закон Стефана.
Максимальное значение w(X, 7) при данной температуре находится при том
значении длины волны Ят,для которого величина.
4exp(w)-']
принимает наименьшее значение, или
где л-fa)'.
310
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 64
Условие минимума можно записать как
5(е*-1) = хе*. (9)
Решение этого уравнения для переменной х определяет значение х через
константы. Таким образом, КтТ равно некоторой постоянной величине. Это и
есть закон Вина.
4. Уравнение (8), при использовании заданного в условии интеграла,
дает
8]x5fe4 = Сх = 7,562 • 1СГ16 Вт • м~3 • К-4.
15Л3с3
Решение уравнения (9) : х = 4,965, тогда
hc = ХтТ = С2 = 2897 • 1СГ6 м • К.
4,965/5:
Находим
, 7,652- КГ16- (4,965 -2,897)4 • КГ-12- 15 с C(V7 1Л-34гг
h =-----------------------8ЧШ)^-№--------------= 6,627-10 Дж-с,
а также
6,627 -10 34 • з • 108 ^ lj3g2 _ ш-2з дж/К<
4,965-2897- 10"
ЗАДАЧА 64
Основное состояние двухэлектронного атома
Нужно оценить энергию основного состояния двухэлектронного атома или
иона, пользуясь соотношениями неопределенности. Чтобы использовать эти
полуколичественные представления, надо исходить из одномерной системы.
Ядро с зарядом Ze будем считать бесконечно тяжелым точечным ядром,
помещенным в начале координат.
1. Напишите выражение для механической энергии системы через координаты
электрона г\ и г2 и его импульсы р\ и р2.
2. Rx и /?2 являются размерами областей, где вероятности нахождения обоих
электронов достаточно велики. Каков порядок величин неопределенностей
импульсов Api и Ар2?
3. Оцените порядок величины энергии основного состояния, найдя W как
функцию Ri и R2, а затем определите минимум этого выражения, которое
симметрично относительно двух переменных.
4. Сравните полученные таким образом значения для Н~, Не и Li+ с
соответствующими экспериментальными значениями - 14,2, -78,4 и -196,6 эВ.
ЗАДАЧА 64
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
31!
РЕШЕНИЕ
1.
где г12 = | гх - г21.
2. Ап = Ru Аг2 - Я2, откуда
3. По классической теории энергия. минимальна, когда оба электрона
находятся в состоянии покоя (Wk = 0) в начале координат (Wp имеет
наибольшее отрицательное значение). Эта конфигурация несовместима с
соотношением неопределенности. Состояния электронов описываются волновыми
функциями, зависящими от расстояний Ri и R2 до начала координат:
Минимальное значение соответствует dW/dRi = dW/dR2 = 0, и поскольку W
симметрично относительно Ri и R2 и Ri =
4. Заметим, что если написать соотношение неопределенности в виде
АдАгя^ Ь, то в уравнении (4) будет содержаться множитель Eoh2!nme2,
представляющий радиус Бора, и (5) можно записать в виде
где Wо - энергия основного состояния атома Н, равная 13,6 эВ. Тогда
находим в эВ:
= R2 = R,
(3)
Из условия dW/dR = 0 получаем
Р 4яе0Л2 1
К т2 Z - >/4 •
Подставляя это значение в (3), получаем
(4)
(5)
Г,
Z
Н" Не Li+
1 2 3
- 15,3 - 83 -205
в полном согласии с измеренными значениями.
312
ЗАДАЧИ ПО ОПТИКЕ
ЗАДАЧА 65
ЗАДАЧА 65
Возмущение первого порядка. Основное состояние атома гелия
Атом гелия состоит из ядра с Z = 2 и двух электронов.
1. Напишите уравнение Шредингера для стационарных состояний, считая
потенциал кулоновским.
Чтобы решить это уравнение, сначала пренебрегают взаимодействием
электронов (приближение атома водорода). Уравнение в этом случае имеет
вид
Я0г|)о = '1У(р|'о, (1)
где Н0 - оператор Гамильтона. Чему равны собственные значения энергии W0n
и собственные функции фоп? Покажите, что для ¦состояния с минимальной
энергией, одноэлектронной волновой функцией, допускаемой принципом Паули,
является функция
Фшо = Лехр(- (2)
где р = 4г/г0, г - расстояние от ядра до электрона, г0 - среднее значение
радиуса Н, а А - нормирующая постоянная, величину которой надо
рассчитать.
2. Рассмотрите кулоновское отталкивание между электронами как
возмущение, иными словами, замените уравнение
(1) на
(Я0 + еЯ')ф = ^ф, (3)
где еН' - оператор, соответствующий возмущению гамильтониана,
записываемый таким образом (е - малое действительное
число), чтобы показать, что этот член мал по сравнению с Н0.
Напишите выражение для Н'. Чтобы найти собственные значения Wn и
