Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
турбулентности (величина отрицательная до тех пор, пока это касается
работы, выполняемой турбулентностью). Первое слагаемое справа - скорость
выполнения работы пульсирующим давлением на поверхности области. Два
последних слагаемых представляют скорости выполнения работы вязкими
напряжениями турбулентности соответственно на поверхности области и
внутри нее (первое из них консервативно, второе - диссипативно).
Пример 20. Написать уравнения Рейнольдса для установившегося двухмерного
турбулентного потока, заключенного между параллельными стенка-
255
ми, и показать, что среднее давление в любом поперечном сечении имеет
максимум у стенок. Весом жидкости пренебречь.
Когда ось х совпадает с направлением потока, а с генки перпендикулярны к
оси у, действительны следующие условия:
а) все средние величины не зависят от времени (Установившийся поток);
б) все средние величины постоянны в направлении 0си г, а ау = 0;
в) все средние величины, за исключением давлениЯ; постоянны в направлении
оси х\
г) при соблюдении условий "б" и "в" уравнение неразрывности показывает,
что величина v должна быть постоянной, а так как эха величина равна нулю
на стенке, следовательно, она должна быть равна нулю и в потоке.
С введением этих условий уравнения Рейнольдса у прощаются:
др , д2и du'v'
о=--гг + в-^-р-^;
ду
дх
О = _ Л _ .
ду Р ду
dv'w'
0 = -р-дГ ¦
Второе уравнение легко интегрируется
р + ру'2 =/(*).
Так как величина v'2 на стенке равна нулю, давление здесь должно быть
максимальным.
В. Изотропная турбулентность
73. Определения и иллюстрирующие соотношения.
Хотя основные, только что выведенные уравнения являются точными и
помогают изобразить механизм турбулентности, однако добавление еще шести
неизвестных (независимые компоненты тензора турбулентных напряжений) к
четыре^ обычным (и, v, w и р), очевидно, приводит к неопределенности
задачи, так как число независимых уравнений остается прежним: три
уравнения Рейнольдса и уравнение неразрывности.
В 1935 г. Тэйлор рассмотрел задачу совершенно по-новому, предложив
использовать теорию непрерывной случайной функции, приняв допущение, что
число независимых переменных тензора напряжений уменьшено от шести до
одной, которая в случае необходимости может быть получена прямым
измерением. Таким образом, он допустил, что турбулентность не только
однородна (т. е. одинакова в любой точке), но также изотропна (т. е.
статистически независима от ориентации, так же как и 0т расположения
координатных осей). Отсюда
и2 = v2 = w2; uv = vw - wu = о.
U
В системе турбулентности, для которой действительны эти допущения, в
качестве характеристики тензора Напряжений остается только одна величина
из пульсаций скорости, а средняя ско-
256
рость (по отношению к началу координатной системы) должна быть равна
нулю.
Несмотря на то, что эти изотропные условия не являются типичными ни для
одного практически значимого реального потока, они оказались
целесообразными, так как послужили стимулом для ученых, работающих в этой
области, к постановке многих исследований, которые только недавно стали
давать некоторые результаты. Отношение критического исследователя к
идеализированным системам очень хорошо выразил Батчелор: "Изучение
однородной турбулентности практически важно, так как, если мы поймем этот
более простой случай, то мы до некоторой степени разберемся и в аспектах
неоднородной турбулентности". В самом деле, Тэйлор, сделав еще один шаг в
исследованиях, показал, что турбулентность в следе за прямоугольной
решеткой в аэродинамической трубе примерно изотропна в плоскостях,
нормальных к направлению среднего движения, по отношению к координатной
системе, движущейся вместе с потоком. Это открытие с одновременным
усовершенствованием анемометра с горячей нитью позволило проводить
наблюдения в лаборатории и в поле, так что оба инструмента научного
исследования - математический анализ и экспериментальные измерения'-могли
применяться одновременно.
Так как тензор напряжений Рейнольдса в изотропном движении совершенно
симметричен и условия в точке почти всегда известны, основными изучаемыми
параметрами в изотропной турбулентности становятся корреляции или
осредненные произведения компонентов скорости в двух точках. Следует
особо подчеркнуть, что этот выбор двух точек (и, конечно, трех обычных
компонентов и, v и w) представляет совершенно частный случай общей
статистической теории непрерывной случайной переменной. В самой общей
постановке средние значения случайной функции (в данном случае, поле
скоростей) определяются распределением вероятности значений функции в п
различных точках, и чем меньше должна быть возможная ошибка в средних
величинах, тем больше должна быть величина п. Если придерживаться этой
общей постановки, то, очевидно, анализ будет настолько сложен, что
чрезвычайно замедлит развитие вопроса. Только при рассмотрении
простейшего частного случая и использовании минимального числа точек
