Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
оказалось возможным получение вообще какого-то решения. Схе-
Рис. 92. Условное изображение двухточечной корреляции
17-1459
257
ма на рис. 92 иллюстрирует применяемые в дальнейшем обозначения для этих
двухточечных корреляций.
В теории стационарных случайных процессов была получена серия параметров,
характеризующих любой непрерывный изотропный процесс, два из которых Rц и
Бци обычно употребляются при изучении турбулентности в жидкости. Оба эти
параметра -
тензорные функции пространства (через вектор расстояния г) и времени.
Двойная корреляция R^ - двухточечный тензор второго ранга с девятью
компонентами, располагаемыми следующим образом для иллюстрации обычной
терминологии:
i ! 1 2 3
1 иаиь иа Vb ua wb
2 Va иь Va vb Va Wb
3 WaUb Wa Vb Wa Wb
Такое расположение показывает, например, что R2z = vawb и, так как здесь
применимо правило замены, что Rji(r)=RiД-г). Видим также, что предельные
значения при г 0 представляют собой компоненты тензора напряжений
Рейнольдса, описанные в п. 70. Если применить уравнение неразрывности, то
получим:
dRjj __ q. dRij q.
dxj dxi
dRu , dRi2 I dRu q, dRu , dR%i . dR3y q
dx dy dz dx ' dy dz '
dR/ii . dR%2 I dRi?, q_ dRiz . 0R22 , dR32 ^
dx dy dz ' dx dy dz
dRn 1 9R32 I Э/?зв q. dRls , dR23 I dRs3 q
dx dy dz ' dx dy dz
В соответствии с теорией Кармана этот тензор может быть представлен также
двумя скалярными функциями F(r) и G(r) следующим образом:
1 2 3
1 Fx*+G Fxy Fxz
2 Fyx Fy*+G Fyz
3 Fzx Fzy Fz* + G
258
Здесь х, у и z - компоненты вектора г. Если этот тензор дифференцируется
по ж, у или г, то можно доказать с помощью принципа неразрывности, что
4F + г - 4- - • - дг г дг
О,
(183)
где г- И. Это уравнение показывает, что условия изотропности позволяют
выразить тензор двойной корреляции только через скалярные функции.
Для экспериментов с турбулентным движением удобнее пользоваться
коэффициентами продольной и поперечной корреляции скорости f(r) и g(r),
которые определяются следующим образом (для пояснения обозначений
приводится рис. 93):
j ^ _ uaub , U2
g(r)
VqVb
(184)
Рис. 93. Предпочтительная ориентация осей
Так как эти соотношения не зависят от ориентации координатных осей, то
можно повернуть последние так, чтобы ось х стала параллельна вектору
расстояния между точками. В этом случае х = г и y = z - 0. Из предыдущих
тензоров следует, что
"2/ (r) = uaub = + G;
(г)
(f-g);
vavb = G; G = u2g. Следовательно, тензор может быть записан через fug:
RiAO
1 и3 (f-g) ~ +g "*(/-*) -y- r2 - xz u?(f - g) -
r 2
2 - ух "2 (f-g) -V r U* bo + - UZ "2(
3 u*(f - g) r - zu "2 (f-g) ~ r& "2 [(/-g) ^
+g
17*
259
Если те же подстановки сделать в уравнении (183), то получим
8 = f +
df
2 дг
т, с . g и / взаимозависимы.
Не обращаясь к измерениям, можно представить общую форму графиков
зависимости f и g от г. Из самих определений
Рис. 94. Наиболее распространенные графики корреляционных функций
очевидно, что обе эти величины приближаются к единице при 0. В
соответствии с неравенством Шварца
дающим для потока
получается, что единица - это максимальное значение, которое может иметь
как f, так и g. Ввиду беспорядочного, но непрерывного характера
турбулентности следует ожидать, что g и / будут стремиться к нулю при г-*
со и что переход от г=0 к г = оо должен быть плавным. Наконец, можно
доказать, что f и g должны иметь противоположные знаки при значениях г,
превышающих определенную критическую величину. На основании этих
соображений заключаем, что зависимости / и g от г будут иметь форму,
изображенную на рис. 94.
260
Разложение f в ряд Тэйлора показывает, что слагаемые высших порядков
приближаются к нулю очень быстро, поэтому хорошую аппроксимацию дают два
первых члена:
2 д г2
В результате f и g могут быть выражены через линейный параметр Я,
определяемый соотношением
\_ ___ djj_
X2 дг2 о
Таким образом,вблизи от начала
г2 г2
/ ~ 1 - - и g ^ 1---------.
' 2Х2 * X2
Параметр Я, очевидно, является радиусом кривизны кривой f{r) при г = 0,
так как dfjdr 0, когда г -> 0, или параболы 1-г2/Я2, совпадающей с кривой
g у ее вершины. Физически Я обычно рассматривается как мера диаметров
самых малых вихрей (хотя и ие равная им), которые в основном (как
показано в п. 74) обусловливают диссипацию энергии.
Два других линейных масштаба, связанных с изотропной турбулентностью,
определяются по площади под корреляционными кривыми. Это - продольный L,
и поперечный Ln масштабы:
к
о
Поскольку
8
то
s- ^fdr- = j gdr. (185)
f+J-.d± 2 dr
L = - L
n 2 s"
Ранее упомянутый тензор тройной корреляции есть двухточечный тензор
третьего ранга с 27 компонентами, представле -ными осредненными
произведениями всевозможных комбинаций двух компонентов скорости в одной
точке и одного компонента скорости в другой точке:
Suk =
Так же как и в тензоре двойной корреляции, не все компоненты здесь
независимы друг от друга; действительно, в случае изотропной
турбулентности все компоненты равны нулю или одному из трех следующих
