Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
(123)] представляются одним:
dxj-dxi
ди: , ди; -+ и, --dt дх/
р дХ[ dxjdxj
(172)
249
Здесь индекс i - текущий, показывающий, какой компонент рассматривается,
а / - так называемый подставной индекс, который указывает на повторение
операций. В направлении оси х это соответствует
ди . ди . ди , ди " 1 др , ,
г и У у 1- ^ - - X • - -f vyhi.
dt дх ду дг р дх
Если мгновенные значения и, v, w и р заменить суммами
и + и', v + v', w + w' и р + р', причем ~Ui =0, то
можно дока-
dt
зать, что уравнение Навье - Стокса и каждое из его слагаемых могут быть
разделены на две части, одна из которых представляет осредненное
значение, а вторая - отклонение от него. Так как многие произведения в
процессе осреднения превращаются в нуль, среднее значение составит
- dui . , &ui v 1 др d2ui
и!~ + и, -л- =Xt т~ + v -^ • 173
dxj 1 dxj р dxi dxjdxj
Компонент по оси х для этого равенства имеет такой вид:
- ди , - ди - ди . , ди' .
и tv b w \-и Ь
дх ду дг дх
, ди' , , ди' v 1 др ,
-у V В w ------------ = X - 4- vy и.
ду дг р дх
Если такому же процессу осреднения подвергнуть уравнение неразрывности,
то осредненные значения дадут такую же запись, как и мгновенные
ди! 0, [(174)
дх; т. е.
ди dv , dw q
дх ду ~дг ~
Если эти уравнения, написанные для осредненных величин, вычесть из
развернутой формы соответствующих уравнений для мгновенных величин, то
разница и будет представлять основные соотношения, описывающие
турбулентные пульсации:
Для направления ж получаем:
ди' . ~ди' . - ди' , - ди' . , ди , , ди .
-р и---------1- V --р W Р и Р V-------------------Р
dt дх ду дг дх ду
. , ди . , ди' . , ди' . / ди' , ди' ,
ди'
+ w \-и------------------- v Р w ---------- - и -------- - v---------
дг дх ду дг дх ду
/ ди' 1 др' , - 2 ,
- w --------- =-------PvvV;
дг р дх
ди' , dv' dw' q
дх ду дг
Более выразительная форма уравнения для среднего движения может быть
получена следующим образом: сначала пуль-сационное уравнение
неразрывности умножается на соответствующий пульсационный компонент и
осредняется:
, ди'; г, , ди' . / dv' , , dw' п
и. -1 - 0 или и Р и р и = 0 и т. д.
1 дху дх ду дг
Так как эти выражения равны нулю, то добавление их к уравнениям среднего
движения не может изменить последние. Выполнив это сложение и
перегруппировав члены, получим следующее равенство:
- ди; , ( . ди; , , \ V др . д*и;
pui J7. +р и/хг + "*7г) дд +fx;
т. е.
dxj \ 1 dxj 1 dxj J дх; dxjdxj
Du . I , du' , , du' \ . I , du' ,
p m + p г ~дГ + u ~sr) + p [v W ~r 11
dv'
Oy
( , du' , , dw' I v dp , .->-
+ P Г ^T+ M ~dT ) = PX~ ~d? ~Phy и.
Каждое выражение в скобках соответственно является дифференциалом
произведения
du-tu. ди'и' du'v'
dxj ИЛИ ~~д)Г ' ~~ЩГ
du'w'
дг
и т. д.
Наконец, перенеся эти конвективные члены, выражающие ускорение, в правую
часть уравнения и учитывая, что, например д2и1ду2 = д(ди)/ду, можем
получить общеизвестные уравнения Рейнольдса
P"i§ "PM-IP+apfl'Ip-Kp). (177)
251
или для направления х
(- ди . - ди , - ди\ v др д ( ди тт~гт\ ,
р (" ФГ + D -Щ + w ж) = рХ " Ж + ФГ 1^ФГ ~Ри 11 ) +
, д ( ди -7-, \ . д ( ди --Л
+ д^ ^ ~ду ~~ pW V } ^ ФГ (^ФГ ~ P" W J '
Эти уравнения отличаются от уравнений Навье - Стокса для нетурбулентного
потока только наличием дополнительных членов, включающих пульсации
скорости. Поскольку девять произведений ри\и. обычно называют
рейнольдсовыми напряжениями, следует подчеркнуть, что объединение членов,
выражающих только ускорение, с членами, относящимися к вязким
напряжениям, делается лишь для иллюстрации того влияния, которое
оказывают на поток пульсации вместо мгновенных вязких напряжений,
исчезающих в процессе осреднения. Хотя эти средние напряжения могут быть
намного больше по величине, чем среднее значение напряжения вязкого
сдвига, они не могут диссипировать (рассеивать) энергию; как средняя, так
и турбулентная полная энергия потока неизбежно диссипируется только под
действием вязкости. Механизм этого явления может быть выражен
модификацией предыдущих равенств (см. п. 72).
71. Уравнение количества движения. При анализе турбулентного потока
обычно удобнее пользоваться интегральной формой уравнения Рейнольдса,
применяя для перехода от объемных интегралов к поверхностным теорему
Грина. Например, скорость изменения количества движения внутри
произвольного объема W составляет
р | n.ui u.dS + Р J nju'iu'j dS = p J X.dW -
- j ntpdS + p. j л,- -щ- dS> (178)
где tii и rij, как обычно, t-e и j-e компоненты единичной нормали.
Компонент уравнения количества движения по оси х имеет вид
р | (1и2 -ф mu v -ф пи w) dS -ф р | (luri -ф mu'v' -ф tiu'w') dS =
Интегралы равенства (178) представляют соответственно порядку их
расположения скорость передачи количества движения осредненным движением,
скорость диффузии количества движения турбулентными пульсациями, внешние
силы, среднее давление и средние вязкие напряжения на поверхности объема.
Следует подчеркнуть, что это соотношение идентично обычно используемому,
