Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рауз Х. -> "Механика жидкости" -> 84

Механика жидкости - Рауз Х.

Рауз Х. Механика жидкости — Москва, 1967. — 392 c.
Скачать (прямая ссылка): mehanikagidkosti1967.djvu
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 132 >> Следующая

переменив знаки, получим
Из неравенства Шварца также видно, что левая часть этого выражения
отрицательна, если Re2 < 2m4. Это значит, что если число Рейнольдса
меньше V 2 т2, то первоначальный поток всегда устойчив, так как
отрицательное значение с{ соответствует устойчивому состоянию. Далее из
неравенства видно, что для данного числа Рейнольдса поток всегда устойчив
при достаточно малых значениях т или достаточно большой длине волны.
Можно упомянуть, что достаточное условие Синга (Qp-) для устойчивости
первоначального потока между концентрическими цилиндрами, так же как и
теоремы Релея (которые представляют только достаточные условия для
устойчивости, полученные при пренебрежении влиянием вязкости на
возмущение), выведено по существу подобным же образом. Достаточные
условия были получены Сингом также вариационным методом, однако его
рассмотрение не входит в задачу настоящей книги.
т Re с. (I\ -f т2 /2) = т Re i j (f f - f'f) ydy
-i
- (II -f 2m2I\ -f m412).
(161)
Но из неравенства Шварца в форме
f {fg+fg) ^j2< -1 j/f dy j ggdy при g = iyf
имеем
-i
так что
mRe сг (I\ + m212) < - (m1 /2 - 2m Re I01г -f- 2m2 /() -1\.
239
65. Метод энергии и метод завихренности. Если полную кинетическую
энергию возмущения обозначить
К' = j (и'2 + г/2 + Ш,а) dW,
где и', v' и w' есть компоненты скорости возмущения, а интеграл является
объемным, и если
Q' = ) (Г2 + т]'2 + ?/2) dW,
где ?', г)/ и ?' представляют компоненты завихренности возмущения, то
устойчивость или неустойчивость первоначального потока будет определяться
знаком dK'jdt или dQ'/dt. В отношении ?У следует заметить, что если ?2' =
0, движение возмущения безвихревое. Но так как граничные условия требуют
отсутствия проскальзывания на твердых границах, то безвихревых возмущений
быть не может, так что ?У = 0 указывает на устойчивость движения. В
дальнейшем будет показано, что для плоского потока Пуазейля и для
периодических возмущений метод энергии совпадает с методом показательного
фактора времени. То, что для одних и тех же случаев метод завихрения
также совпадает с последним методом, может быть показано подобным же
образом.
Приняв для плоского потока Пуазейля двухмерное периодическое возмущение,
из определения К' и уравнений Навье - Стокса получаем:
1 d!C _ 1 Г 0 . ,2 . ,2, ,0 СI , ди'
| - (и'2 + v 2) dS = \ (и'и - -f-
.5/ И дх
[у dt 2 ,) dt .м дх
~uv'd-^ + u'v'd-H)dS- - Г (и' д-1 +v'd-l)ds
дх ду / р J \ дх ду j
+ v (' (и у2 и + и' у2 v') dS, (162)
где интегралы являются поверхностными, а и есть размерная скорость
первоначального потока. Сумма двух первых членов в правой части уравнения
(162) может быть записана как
- d[u(u'2 + v'2)]/dx, а так как и не зависит от х, то по свойству
периодичности интеграл этой суммы исчезает. Аналогично исчезает третий
интеграл, так как
и' W +v, д? = _д_ , ^)+_д_(и, р/)
дх ду дх ду
по уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости, граничным условиям и
периодичности. Последний интеграл в уравнении (162) может быть заменен
интегралом
так что уравнение (162) становится таким:
- Ж = - l'"V - dS - vl. (163)
Р dt J ду
До сих пор все величины в данном пункте были размерными. Если теперь
сделать безразмерными расстояния, разделив их на половину пространства
между пластинами, и компоненты скорости, разделив их на максимальное
значение ит скорости и, то может быть использована безразмерная функция
тока я|/:
, , дф'
и - - : v = - .
ду дх
Если далее выразить t через Ь/ит и написать V = f(y,t)eimx + J(y,t)e-imx,
тогда уравнение (163) при положительной константе С будет иметь такой
вид:
1
С " = - m Re J (f'-f-ff)dy~(P2 + 2m4-i + m4i0), (164)
-l
где /0, 1\ и /2 определяются так же, как в п. 64, за исключением того,
что функция / теперь зависит от у и t. Правая часть уравнения (164) по
форме такая же, как в уравнении (161). Если вместо f(y, t) написать f(y)
ехр(-imct), то правые части уравнений (161) и (164) становятся
идентичными, так что метод энергии и метод показательного фактора времени
совпадают для периодических возмущений.
66. Влияние природы возмущения на устойчивость. До сих пор рассмотрению
подвергались лишь двухмерные возмущения. Может возникнуть вопрос: как
влияет природа возмущения на стабильность потока? Для двухмерных
параллельных потоков ответ прост. Особый случай сужающегося потока
однородной жидкости был рассмотрен Сквайром (1933). Общий случай, при
котором верхняя поверхность жидкости не обязательно зафиксирована и
учитываются гравитационная сила, а также изменения плотности и вязкости,
рассматривался Ехом (Yih) с помощью простого подхода Линя.
Для возмущения может быть взята функция тока типа
ф' = f(y)ei(mx+nz~mcn,
где х измеряется в направлении первоначального потока, у - в направлении,
перпендикулярном плоскости границы, г -по оси, перпендикулярной плоскости
ху, а т, п и с - постоянные. Если выполнить поворот вокруг оси у так,
чтобы ось х' заняла положение (пг, 0, п) по отношению к прежней
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed