Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
координатной системе, тогда
241
где m'=(m2 + n2)v". Если далее определить с' из равенства
mV=mc, то фукция тока может быть записана
что представляет двухмерное возмущение, перемещающееся в направлении х' с
длиной волны 2л/т' и скоростью с'. Аналогично функция тока
ф" = / (у) e^x-nz-mct) = ^ ^ егт'(Х"-сЧ)
представляет то же самое возмущение, перемещающееся в направлении х",
занимающем положение (т., О, п).
Тогда функция тока
Фз = Ф" + Ф" = 2f (у) cos nze'm(x~ci)
представляет трехмерное возмущение, движущееся в направлении оси ж со
скоростью с и имеющее длины волн 2л/т и 2зт/п соответственно в
направлениях х и г. Так как из-за симметричности ф' и ф" физически
идентичны, то устойчивость или неустойчивость для ф3 определяется
устойчивостью или неустойчивостью ф', потому что здесь вследствие
линейности и однородности дифференциальной системы, описывающей
устойчивость, применимо правило суперпозиции.
Если теперь число Рейнольдса, уклон и градиент давления первоначального
потока обозначить соответственно Re, s и dp/dx, то для компонентов,
соответствующих ф' (обозначенных Re', s' и dp'/dx'), они определятся
равенствами
т' Re' = mRe; m's' = ms;
esc p' = -- esc p, dx dx
где p и p' - углы наклона границы к горизонтали в направлениях
соответственно х и х', так что s = tg р и s' = tg р'. Как легко видеть,
сечение потока (в направлении г') для случая ф' не вносит значительных
изменений ни в уравнение движения, ни в уравнение неразрывности и никак
не влияет на выполнение граничных условий. Отсюда первоначальный поток
устойчив или неустойчив к трехмерному возмущению соответственно тому,
устойчив или неустойчив он к двухмерному возмущению при меньших числах
Рейнольдса, меньшем уклоне и меньшем градиенте давления. Законы
уменьшения перечисленных величин даны предыдущими равенствами.
Глава VI
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ
А. Общие соображения
67. Вводные замечания. Даже при случайном наблюдении за истечением дыма
из трубы или за следом судна на воде видно, что движение потоков во
многих случаях совершенно не имеет того упорядоченного характера, который
должен был бы существовать в соответствии с приведенным ранее анализом.
Вместо того, чтобы следовать по установленным траекториям, жидкие частицы
перемещаются крайне беспорядочно; это перемещение может быть
охарактеризовано как неоднородное вторичное движение, наложенное на
первоначальное упорядоченное. Вторичное движение является
неустановившимся вследствие наблюдающихся при нем пульсаций скоростей во
времени во всех точках пространства и беспорядочных изменений скоростей
от точки к точке в любой момент времени. Его можно представить в виде
бесчисленного количества вихрей различных форм, размеров и скоростей
вращения, переносимых по течению осредненным потоком.
Этот общий тип движения обычно называют турбулентным, если пульсации в
нем носят непериодический характер. Потоки, находившиеся или находящиеся
в состоянии сдвига при числах Рейнольдса от средних до очень больших,
могут быть с уверенностью названы турбулентными. Хотя турбулентное
вторичное движение редко представляет интерес само по себе, тем не менее
значение его для тех, кто вынужден работать с потоками при указанных
значениях числа Рейнольдса, достаточно велико. Это объясняется двумя
причинами: 1) даже когда пульсации скорости малы по сравнению с
осредненной скоростью, они оказывают заметное влияние на такие важнейшие
характеристики потока, как потеря энергии, сопротивление трения и
перемешивание; 2) математические выражения и понятия, описывающие
нетурбулентное движение, здесь становятся неудовлетворительными, так что
должны быть заменены новыми.
68. Средние значения. Хотя турбулентный поток всегда является
неустановившимся, в нем может быть наведен некото-
243
рый порядок, если разделить его основные переменные, такие, как скорость
и давление, на две части, одна из которых относится к общим
характеристикам, например к расходу и усилиям, а вторая преимущественно
описывает вторичное движение. Такой технический прием особенно пригоден
для систем, обладающих устойчивостью осредненных величин, так что первая
из упомянутых частей имеет существенно постоянное значение. Если
устойчивость такого рода отсутствует, возможность удов-
Рис. 88. Турбулентные пульсации компонентов скорости
а - пространственные изменения в данный момент времени; б - временные
изменения в одной точке
летворительного анализа значительно уменьшается; здесь будут рассмотрены
только случаи, в которых допустимо существование осредненных величин.
Поток с большими числами Рейнольдса, заключенный между фиксированными
границами, представляет наглядный пример турбулентного движения. На рис.
88 показаны типичные схемы одновременных измерений продольных скоростей в
разных точках поперечного сечения и последовательных измерений их в одной
точке за некоторый промежуток времени t. Поперечные компоненты скорости,
а также нормальные и касательные напряжения, очевидно, тоже пульсируют во
