Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
экспериментально по их спектрам, подобно тому как луч света делят на
спектральные компоненты. Эта аналитическая техника, основанная на
эйлеровом представлении скорости в фиксированной точке как функции
времени, была впервые предложена Тэйлором вместо корреляционной функции
f(r), определенной уравнением (184). Применение спектральной функции не
ограничивается изотропной турбулентностью, фактически для нее не
обязательно равенство нулю осредненной скорости, что должно быть
непременным условием для истинной изотропности. Относительно простой
одномерный спектр Тэйлора позднее был сведен Гейзенбергом
иг (yt) /z = const,
и2ос t X2 - - vt, п
где п - функция числа Рейнольдса Re = -
меняющаяся
18-1459
265
к трехмерному, а Кампо де Ферье и Батчелор независимо друг от друга
использовали общий спектральный тензор. Последние представления более
сложны, но они во многих важных деталях сходны с одномерным спектром, так
что изучение последнего может иллюстрировать их основные принципы.
- в рутах'' а
Рис. 95. Типовой турбулентный спектр
/ - результаты измерений; 2 - результаты вычислений по корреляционным
соотношениям из непосредственных измерений
_ " 2ттх
uF(n)=4 /(*)cos Ц dx О и
Если продольную пульсацию и' скорости в фиксированной точке разложить на
гармонические компоненты, то среднеквадратичное отклонение и'2 будет
равно общему вкладу (наложению) всех частот (рис. 95). Отсюда очевидно,
что если F (п) представляет частотную функцию, то
оо
^ F(n)dn = 1. (191)
266
Для уяснения физического смысла понятия спектра полезно представить
турбулентность как скопление вихрей различных размеров, проносимых мимо
фиксированной точки средним течением. Пульсации скорости, соответствующие
меньшим вихрям, будут происходить гораздо быстрее, чем пульсации,
вызванные вихрями больших размеров, так что увеличение частоты п может
быть рассмотрено как соответствующее уменьшение размеров вихрей при
данной осредненной скорости.
При рассмотрении продольной корреляции f(x) видно, что корреляция должна
уменьшаться медленнее при преобладании больших вихрей; отсюда можно
сделать вывод о существовании прямой связи между спектральным
распределением турбулентной энергии и продольным масштабом Ls, введенным
в уравнение (185). Эта связь может быть установлена, если допустить, как
это сделано в п. 74, что пространственные и временные производные связаны
равенством
d ~ d
dt dx
Это соотношение обычно считается пригодным при и тогда продольная
корреляция записывается так:
f до = и' (t)u'(t+x/u) и7*
Применив теорему Парсеваля, Тэйлор доказал, что правая часть этого
равенства представляет собой результат преобразования спектра в ряд
Фурье, так что искомое соотношение между спектром и корреляцией таково:
00
f(x) = ^F (п) cos -2n^* dn. (192)
о
Из интегральной теоремы Фурье следует, что спектр представляет собой
также разложение корреляции в ряд Фурье:
СО
F(n)=-L[f {х) cos dx. (193)
и J и
о
Таким образом, если величина F(n) или f(x) может быть измерена в точке,
то вторая характеристика вычисляется по выражению (192) или (193).
Так как спектральное распределение и корреляция непосредственно связаны с
масштабом пульсаций, они являются ценным источником информации о
механизме образования и диссипации турбулентной энергии. Хотя различные
исследователи вывели несколько соотношений, подобных уравнению (190), ни
одно из них не могло быть применено, так как каждое неизбежно содержало
больше неизвестных, чем существовало независимых урав-
18*
267
нений. В этих условиях необходимо было либо сделать предположение о
взаимосвязи между переменными в процессе вырождения, либо непосредственно
измерить доминирующий масштаб. Результаты, приведенные выше для
начального и конечного периодов, типичны для общего вида допущений,
которые делаются при недостатке информации о масштабе. Другим
предположением, получившим широкое распространение, было допущение
Кармана о том, что функции / и k или им подобные сохраняют общую форму в
процессе вырождения. Хотя эта теория о самосохранении была полезным
математическим приемом, она имела малое физическое обоснование и плохо
согласовывалась с измеренным спектром на участке между рассматриваемыми
точками.
Подобная же теория, но основанная на физических гипотезах, была
предложена Колмогоровым. Она имеет три важные характеристики:
1) турбулентность во временном и пространственном объеме G общего потока
будет всегда существенно изотропна, если G достаточно мало, а число
Рейнольдса достаточно велико;
2) турбулентные характеристики в названном объеме однозначно определяются
скоростью диссипации энергии на единицу массы е/р и кинематической
вязкостью. Это - первая гипотеза подобия;
3) распределение вероятности корреляций между точками в объеме будет
зависеть только от е до тех пор, пока расстояние между точками велико по
сравнению с линейным параметром Lh. Длина Lh определяется через основные
параметры е/р и v на основании теории размерностей:
