Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
времени и пространстве (следует заметить, что турбулентные пульсации
отсутствуют в области, прилегающей к гладкой стенке, так как здесь
совместное стабилизирующее влияние близости стенки и вязкости достаточно
для предотвращения возникновения пульсаций). Повторные измерения в любой
зоне турбулентности не дают совпадения полученных записей из-за
беспорядочности, с которой происходят пульсации. В общем хотя первичные
(средние) распределения скоростей и давлений в потоке зависят от
известных или определяемых граничных условий, мгновенные вторичные
(турбулентные) пульсации не обладают такой прямой зависимостью. Только
приложение к вторичному движению статистических приемов позволяет
установить прямую связь.
244
Если, как предлагалось в предыдущем пункте, отмечать последовательно
величины мгновенных параметров в точке, они будут меняться так, как это
изображено на рис. 89. Когда s - порядок измерения и п - общее число
измерений, среднее значение измеренной величины А составляет
A =lim
Я-"-со
¦Ел.
(165)
Следует отметить, что уравнение (165) может быть использовано для
получения осредненных величин любых характери-
А> •>
А2 3
А"
-лЛ-
Рис. 89. Запись дискретных измерений Рис. 90. Запись непрерывных
измерений
стик неустановившегося потока путем повторения эксперимента п раз, причем
все измерения должны быть проделаны в той же самой точке и через тот же
промежуток времени после начала эксперимента.
Однако это понимание среднего значения, очевидно, имеет очень
ограниченную применимость, если А не становится существенно постоянной
величиной после достаточно большого числа измерений и не удовлетворяется
требование, чтобы определяемые параметры, обрабатываемые указанным
способом, могли бы рассматриваться как математическая формулировка
условий, оговоренных в начале этого пункта, заключающихся в том, что
здесь должны рассматриваться только те задачи, в которых значения
параметров можно принять постоянными, какими они были в начальном
движении.
Строже и поэтому более употребительно среднее значение, полученное из
непрерывной записи переменного в зависимости от времени в определенной
точке пространства (рис. 90). Следует отметить некоторые отличия рис. 90
от рис. 89. Во-первых, абсциссой здесь является время t, а не
последовательность опытов 5. Во-вторых, запись представляет собой
непрерывную линию, а не ряд дискретных точек. Эта непрерывность записи
параметров потока особенно существенна, если его трактовать как
245
континуум. В-третьих, хотя этого может быть не видно из рисунка,
временные и пространственные производные параметров потока также
непрерывны. Учтя непрерывность записи введением интеграла вместо конечной
суммы, получим второе определение средней величины в таком виде:
т
lim - ( Adt, (166)
Т^чо Т J
о
где Т - полный период записи. Если число п и время Т достаточно велики,
значения А, определенные по уравнениям (165) и (166), совпадают.
Еще одним способом определения средней величины может быть использование
в качестве независимой переменной пространственной координаты г вместо
времени (см. рис. 90). В этом случае необходима одновременность всех
измерений. Соответствующая средняя величина получается так:
R
А= lim - Г Adr. (167)
Л->(r) R J V
о
Если первоначальный поток характеризуется равномерностью в направлении г,
тогда средняя величина достигает постоянного значения на конечном
расстоянии.
Получив среднюю величину, можно обратиться к отдельным измерениям и найти
сведения о характеристиках вторичного движения. Разность любой измеренной
величины и среднего значения обычно называют отклонением А':
А' = А - А.
Важным свойством отклонения является равенство нулю его осредненного
значения, что соответствует полученному определению средней величины
А' = 0.
Для преодоления трудностей, связанных с необходимостью оперирования
отрицательными отклонениями или абсолютными значениями, отклонения от
среднего возводятся в кадрат и вычисляется среднее этих квадратов.
Параметр, имеющий размерность первоначальной величины, получается
извлечением квадратного корня из этого результата. Принятая запись имеет
такой вид:
т
-11/2
/ А'
lim - | А'~ dt
Т-^оа Т
(168)
Ясно, что это выражение должно быть названо среднеквадратичным
отклонением.
246
Для получения характеристик потока в одно из полученных выражений может
быть подставлен любой его параметр. Обычно это три компонента мгновенной
скорости и, v и w и давление р. Соответствующие средние величины
обозначаются через и, v и w, а отклонения через и', v' и w'. Таким же
образом мгновенное давление, его средняя величина и его отклонение от
средней обозначаются через р, р и р'.
69. Функция плотности вероятности. Другим методом представления
случайной функции может быть использование понятия функции плотности
вероятности. Если, как и ранее, А -случайная переменная, а п - количество
сделанных измерений, то вероятность того, что данное измерение будет
