Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
находиться в пределах Аа и Аа + ЬА, определится так:
6Р(ЛЙ<Л<ЛЙ + 6Л) = -^,
п
где па - число измерений в названном интервале, меньшее п. Совершенно
ясно, что вероятность бР зависит как от Аа, так и от бЛ и что бР
стремится к нулю при приближении к нулю бЛ. Однако отношение их стремится
к конечной величине, которая и называется функцией плотности вероятности:
№ = = (169)
5Л-^о о Л о Л
Вероятность Р может быть получена также из непрерывной записи, подобной
изображенной на рис. 90. Вместо па используется период времени Та, в
течение которого переменная находится в пределах от Аа до Ла + бЛ, а
полная продолжительность записи Т заменяет п. Тогда вероятность
записывается следующим образом:
6Р(Ла<Л<Лй + бЛ) = ~ ,
где значение Т достаточно велико. Функция f(A) определяется как и ранее.
Если изобразить графически зависимость f(A) от Л, получится кривая
частоты распределения (рис. 91). Самая верхняя точка кривой, очевидно,
соответствует тому значению Л, для которого частота события максимальна;
относительная частота любого другого значения определяется с одного
взгляда. Так как в данную кривую включены все измерения, площадь,
ограниченная ею, равна единице:
со
[ f (Л) dA ~ 1.
6
247
Положение центра тяжести поверхности, очерченной кривой, находится из
уравнения момента
А
= $Af(A)
dA.
(170)
Мера распространения кривой (т. е. стандартное отклонение, или радиус
вращения поверхности вокруг оси, проходящей через центр тяжести)
находится как корень квадратный из второго момента
V А'* = [ j (A~A)tf(A)dA
1/2
Рис.
91 Функция плотности вероятности
(171)
Так называемая асимметрия кривой распределения представляет собой третий
момент в этой последовательности. К счастью, асимметрия турбулентной
кривой так мала, что ею можно пренебречь, и в результате средние величины
и среднеквадратичные отклонения, полученные в этом и предыдущем пунктах,
оказываются идентичными.
Пример 19. Если трубка Пито, соосная со средним потоком, реагирует на
результирующую скорость, то какова может быть ошибка в ее показании из-за
турбулентных пульсаций скорости?
По уравнению Бернулли среднее значение давления в этих условиях равно
2 ' 1 2
Так как ии' = 0, то можно написать
р = Ро + от1/2 = р"+ дг + "')2 + v'2 + !
¦ P о
р и*
1 + -
-1-ц'2 + W'2
Очевидно, ошибка будет меньше, если трубка предназначена для измерения
только продольного компонента скорости.
Б. Основные уравнения для турбулентных потоков
70. Уравнения Рейнольдса. Считается, что даже в случаях очень
интенсивной турбулентности при достаточно подробном рассмотрении можно
обнаружить чисто ламинарные характеристики, поэтому уравнения Навье -
Стокса могут быть применены в одинаковой степени к ламинарному и
турбулентному движениям. Однако наличие бесчисленных турбулентных
пульсаций, не связанных непосредственно с известными или определяемыми
граничными условиями, делает практически не-
248
возможным получение точных решений даже для очень простых турбулентных
потоков. Как было указано, знание осредненных характеристик потока
является первостепенной заботой большинства исследователей, ибо такое
приведение решения к среднему движению было бы вполне удовлетворительным
для многих целей. К сожалению, даже эта информация не может быть получена
без понимания общего механизма турбулентности. Тем не менее многое можно
объяснить путем вывода и анализа различных уравнений, описывающих
отдельные стороны турбулентности. Значительная сложность таких уравнений
привела к использованию специальной формы записи, уменьшающей число
необходимых членов. Наряду с сокращением такая форма записи позволяет
яснее представить смысл уравнения, объединяя однородные члены в отдельные
группы, так что взаимоотношение между группами не затемняется большим
количеством слагаемых. Для ясности характеристик большинство главных
уравнений, приводимых далее, будет дано сначала в общей тензорной записи,
которая очень широко используется ныне, а затем для одного из компонентов
в более обычной развернутой форме.
Для быстрого овладения тензорной записью нужно уяснить, что большая часть
этой символики получается непосредственно из развернутой формы. Буквы t,
и, х, р и р, например, сохраняют свое обычное значение, а символы д, d и
черточка ( -) выражают обычные операции. Принципиальное отличие от
обыкновенных уравнений заключается в использовании индексов i и /',
которые выполняют две основные функции: во-первых, указывают, какой
компонент векторного количества рассматривается, во-вторых, указывают,
какова последовательность повторения операции. Повторение индекса
означает, что соответствующее количество или количества должны
суммироваться по всем возможным слагаемым. Например, уравнение
неразрывности может быть записано в тензорной форме следующим образом:
Аналогично, оператор Лапласа может быть представлен так:
Для тех, кто пользуется векторными уравнениями, ценность тензорной записи
еще более очевидна. Например, три уравнения Навье - Стокса [уравнения
