Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
Это - вторая гипотеза подобия.
Основной постулат, положенный в основу теории Колмогорова, заключается в
том, что граничные условия потока не влияют непосредственно ни на какие
детали поля скоростей, за исключением тех, которые характеризуются теми
же длинами, что и размеры границ. Таким образом, крупномасштабные
компоненты турбулентности образуются самим средним потоком благодаря
работе по преодолению вязких или рейнольдсовых напряжений. Эти
крупномасштабные пульсации в свою очередь по инерции вызывают пульсации
более мелкого масштаба и так далее до тех пор, пока масштаб не сделается
настолько малым, что вязкие напряжения становятся преобладающими и
кинетическая энергия начинает непосредственно переходить в тепло. Даже
при самых крупных масштабах в процессе, конечно, имеются потери и часть
энергии диссипирует. С уменьшением масштаба размеры потери энергии
увеличиваются, так что линейный параметр Lk турбулентности,
соответствующей наибольшей диссипации энергии, частично зависит от
размеров границ. Дейст-
268
вительно, этот масштаб диссипации Lh зависит от числа Рейнольдса среднего
движения - с увеличением Re, как показывают эксперименты (при сохранении
геометрии границ неизменной), изменение в турбулентности сводится к
образованию все меньших вихрей.
Из этих соображений следует, что к крупномасштабным компонентам
турбулентности поля, зависящим от геометрии границ, и к компонентам
мельчайших масштабов, для которых поток целиком вязок, невозможно
применить единую теорию. Применимость теории Колмогорова ограничена
внутренним масштабом и объемом, размеры которого отличны от местного
граничного масштаба L. Таким образом, эта теория может применяться только
к системам, для которых число Рейнольдса Re-VL/v настолько велико, что Lk
-С L. Это требование больших чисел Рейнольдса задерживает
экспериментальную проверку гипотезы, хотя она широко известна уже более
десяти лет. Экспериментальные исследования в этом направлении пока очень
немногочисленны.
Пример 21. Доказать следующее соотношение, включенное в вывод уравнения
(187): _____ ____________
Последовательное дифференцирование выражения зависимости f и g дает;
dg 3 df г З2/
дг ~ 2 ' дг + 2 ' Зг2
_ 2 г JL . dr% ~ 3r2 2 ' Згз
32/ r dsf
3r2 + 2 3/-3
Так как в пределе г-* 0, то получаются следующие равенства:
дгиаиь I диа диь
--------------= пш-----• -----
дхадхь К-о r-о дха дхь
32g(0)_ 232/(0)
Здг2 дх2
так что
Из определения X следует
Г. Турбулентная диффузия
76. Описательные соотношения. Как было показано во вводной части этой
главы, турбулентность играет важную роль в потоке жидкости, поскольку она
оказывает значительное влияние на такие важнейшие характеристики потока,
как потеря энергии, сопротивление трения и перемешивание. Некоторые
детали механизма диссипации энергии исследуются с помощью уравнения
энергии с несколькими специфическими приложениями; влияние турбулентности
на перенос количества движения показано в виде измененного уравнения
количества движения (линейного), а влияние ее на сопротивление трения
показано с большей подробностью в следующей главе; некоторые существенные
характеристики перемешивания будут рассмотрены здесь.
Если в поле турбулентного потока имеется местная неоднородность
(тепловая, оптическая, химическая или механическая), турбулентные
пульсации приводят к распространению ее по все увеличивающемуся объему
потока. Это перераспределение, или турбулентная диффузия, существенно
отличается от обычной диффузии, вызванной молекулярным перемешиванием.
Механизм последнего явления довольно хорошо известен, поскольку оно
составляет важную часть кинетической теории газов, но это очень мало
помогает в вопросе изучения макроскопической диффузии турбулентности. Как
будет показано в части Д, идея аналогичности вихревой и молекулярной
вязкости имеет серьезные недостатки во многих случаях, и для более
удовлетворительного решения следует выбирать модель, основанную на
статистической механике. Таким образом, методы статистики должны быть
применены к турбулентной диффузии так, чтобы влияние состояния потока
можно было добавить к действию молекулярного перемешивания.
Парадоксально, что этот процесс приводит к коэффициенту диффузии, тесно
связанному с вихревой (виртуальной) вязкостью.
Еще раз подчеркнем, что применяемые с давнего времени описательные методы
неудовлетворительны, поэтому должны быть разработаны новые методы. До сих
пор в данной главе использовалась исключительно эйлеровская концепция
скорости в фиксированной точке как функции времени, теперь необходимо
остановиться на методе Лагранжа, исследующем движение отдельной частицы
жидкости. При пользовании этой техникой распространение любых
материальных частиц может быть определено статистически из чисто
кинематических соотношений. Отсюда следует, что перемещение частицы
жидкости в течение некоторого произвольного периода времени является
важной переменной. Если частица в момент времени t = 0 находится в
