Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
три компонента скорости исчезают на границах) удовлетворяются
автоматически. Два оставшихся условия и рекуррентные формулы для
коэффициентов одного из рядов получаются из дифференциальных уравнений
при условии, что детерминант бесконечного порядка должен исчезать для
нетривиального решения системы дифференциальных уравнений. Из уравнения
этого детерминанта может быть получена кривая нейтральной устойчивости.
Этот метод также относится к тем, где используется показательный фактор
времени.
Тэйлоровская оценка возникновения неустойчивости настолько ясна и
поучительна, что хочется привести цитату из его работы: "Наблюдаемое
явление было одинаковым во всех случаях. Слой окрашенной жидкости
неожиданно распадался на ряд равноотстоящих пленок, плоскости которых
были перпендикулярны оси вращения. Эти пленки в каждом случае
располагались друг от друга на расстоянии, приблизительно равном
удвоенной толщине слоя между цилиндрами. Пленки распространялись до тех
пор, пока не достигали внутренней поверхности внешнего цилиндра. Затем
они распространялись вверх и вниз вдоль этой поверхности, пока не
покрывали всю ее тонким слоем окрашенной жидкости. Этот слой был почти
незаметен, так как его кромку трудно было различить. С другой стороны,
при встрече слоев, направленных вверх и вниз, образуются пленки,
движущиеся к внутреннему цилиндру, подобные тем, что движутся к внешнему
цилиндру. В результате через 2-3 сек после начала движения появляется ряд
тонких пленок окрашенной жидкости, расположенных друг от друга на
расстоянии, равном толщине слоя между цилиндрами. Фактически через
несколько секунд после начала движения оно уже кажется установившимся,
так как в нем невозможно различить, какие пленки движутся внутрь, а какие
- наружу, хотя каждая из них в отдельности чрезвычайно резко очерчена".
Из этого описания видно что в начале возникновения неустойчивости поток
не прямо превращается в турбулентный, а переходит в другой вид
ламинарного движения. Эксперименты Тэйлора показали, что при увеличении
скорости внутреннего цилиндра симметричные вихревые кольца сначала
становятся несимметричными или даже узловатыми и затем разрываются,
превращая весь поток в турбулентный.
При рассмотрении тэйлоровской задачи устойчивости не следует упускать из
вида главный фактор, способствующий неустойчивости. Первичная причина,
как уже твердо установлено,
237
состоит в том, что при заданных радиусах цилиндров с увеличением
отношения Q1/Q2 вероятность неустойчивости возрастает. Вращение
внутреннего цилиндра действует двояко. С одной стороны, оно передает
движение близлежащим слоям жидкости, которые затем стремятся двигаться
центробежно. С другой стороны, оно создает положительный радиальный
градиент давления, который противодействует этому стремлению. Равновесие
здесь ненадежно; чем быстрее вращается внутренний цилиндр, тем труднее
воспрепятствовать жидкости двигаться наружу от него. Вращение внешнего
цилиндра, однако, имеет только стабилизирующее воздействие. Оно помогает
внутреннему цилиндру создавать радиальный градиент давления и
препятствовать движению жидкости наружу. Таким образом, результаты
Тэйлора, вполне объяснимые с интуитивной точки зрения, позволяют прийти к
заключению, что первичной причиной неустойчивости является центробежная
сила, которая в этом случае может рассматриваться как одна из форм
массовой силы.
64. Достаточные условия для устойчивости. Вместо решения
дифференциальной системы, определяющей устойчивость или неустойчивость
первоначального движения, различные исследователи интегрировали
дифференциальное уравнение или уравнения, дающие достаточные условия для
устойчивости. Хотя получить эти условия намного легче, чем решить
дифференциальную систему, однако они содержат гораздо менее специфичную
информацию, так как выведены без знания основ природы возмущения. Тем не
менее эти условия всегда обеспечивают ценные указания в поисках более
специфичной информаций, когда отсутствует детальное решение, и являются
хорошей проверкой, если такое решение существует. В дальнейшем для
иллюстрации смысла метода будут приведены достаточные условия
устойчивости плоского потока Пуазейля. Ценность результата, полученного
Сингом, доказана удачным исследованием Линя в более узкой области.
Если в качестве характерной скорости первоначального потока берется его
максимальная скорость, то распределение скорости этого потока дается
безразмерным выражением:
и = 1 - у2.
Используя это выражение для и и умножая уравнение (160) на f d у (где f
является величиной, комплексно сопряженной с /), а затем интегрируя (в
случае необходимости по частям) от -1 до 1, получим с помощью граничных
условий следующие интегральные соотношения:
т Re с. ( /'( + т2 Щ - т Re Qi + II + 2т'г I\ -f- т41\,
238
Ц = j ff dy; /? = j f f' dy¦
- 1
- 1
Г\ = ) f" f" dy,
Q = j (1 -У*)Г f'dy + m^ (1 - y2) f f dy - 2j f f ydy - 2I\.
-i
-l
Взяв действительную часть приведенного интегрального соотношения и
