Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
Если все такие возмущения затухают, то первоначальному течению
свойственна устойчивость; в противном случае ему присуща неустойчивость,
даже если некоторые возмущения исчезают со временем. Задачи
гидродинамической устойчивости представляют большой практический и
теоретический интерес, о чем свидетельствует большое число посвященных
этому вопросу публикаций с начала нашего столетия.
Физически течение может быть неустойчивым только при существовании
передачи энергии возмущению от основного потока. Математически эта
передача выражается присутствием нелинейных членов в уравнениях движения
Навье-Стокса. Так как все возмущения подвержены вязкостной диссипации,
устойчивость первоначального потока зависит по существу от соотношения
скорости вязкостной диссипации возмущения и скорости получения энергии от
первоначального потока.
Хотя в этой главе рассматривается главным образом течение вязких
жидкостей, задача об устойчивости существует и для идеализированных
потоков невязких жидкостей. Действительно, благодаря относительной
простоте их математического анализа исторически именно для них впервые
было найдено удачное решение. Неустойчивость может возникнуть, например,
если тяжелая жидкость располагается выше легкой или если существует
разрыв скоростей на границе двух жидкостей (Гельмгольц, 1882), или если
поверхностное натяжение оказывает разрушительное влияние на струю
жидкости (Релей, 1879). Во всех этих случаях вязкостной диссипацией
пренебрегают, но это не значит, что течения обязательно будут
неустойчивыми, так как может установиться такое положение, когда передачи
энергии возмущению не будет и тогда не будет ни затухания, ни
распространения его.
Гидродинамическая неустойчивость реальных потоков была впервые упомянута
в печати Хагеном в 1839 г. и подтверждена экспериментально им же в 1854
г., а затем независимо от него Рейнольдсом в 1883 г. Четыре года спустя
Кельвин рассмотрел задачу устойчивости плоского потока Куэтта и плоского
потока Пуазейля и заключил, что оба потока устойчивы к малым возмущениям.
Хотя позднее Релей подверг сомнению его доказательство, все-таки следует
признать, что Кельвин первым использовал метод малых возмущений для
анализа устойчивости и тем самым дал начальный толчок к изучению этих
трудных проблем.
232
Так как нерегулярное наблюдение за режимом течения жидкостей, по-
видимому, указывало, что более вязкая жидкость имеет более устойчивое
течение, возникло искушение изучать устойчивость ламинарных течений,
пренебрегая влиянием вязкости на возмущения, и в случае результатов,
указывающих на стабильность потока, заключать, что первоначальное течение
устойчиво независимо от вязкости жидкости. Релей использовал этот подход
для изучения устойчивости параллельного течения между двумя плоскими
границами, рассчитывая, что оно может быть только неустойчивым. К своему
удивлению он обнаружил, что если на кривой распределения скоростей
отсутствует точка перегиба, то любое возмущение, периодически вносимое в
поток, обязательно нейтрально, т. е. ни распространяется, ни затухает.
Этот результат заставил Релея прийти к убеждению, что даже при вязкости,
близкой к нулю, нельзя пренебрегать ею при исследовании предельного
случая вязкой жидкости. Тонкость этого различия становится очевиднее,
если представить, что пренебрежение влиянием вязкости на возмущение и
допущение соответствия потока с возмущениями безвихревому равносильно
признанию наличия проскальзывания на границах, что невозможно ни в какой
реальной жидкости со сколь угодно малой вязкостью. Таким образом, если
возмущение не подвержено вязкостной диссипации, механизм возмущенного
движения изменяется коренным образом и, действительно, никакой энергии не
может быть передано возмущению от первоначального потока. Двойная роль
вязкости становится очевидной благодаря результату Релея, не имеющему
прямого отношения к задачам устойчивости вязкой жидкости, но ярко
иллюстрирующему трудности, свойственные этим задачам.
Исследования гидродинамической устойчивости в XIX столетии сводятся к
работам Рейнольдса, Кельвина и Релея, но в нашем столетии они становятся
столь многочисленными, что невозможно да и не нужно приводить здесь все
полученные результаты. Однако, несмотря на большое внимание к этому
вопросу, пока еще исследована аналитически лишь начальная стадия перехода
от ламинарного течения к турбулентному. В оставшейся части этой главы
будут рассмотрены только основные моменты наиболее важных решений с
уделением особого внимания методологии.
63. Метод показательного фактора времени. Для удобства представления
рассматривается параллельное ламинарное течение между двумя бесконечными
пластинами. Ось х проходит посередине между пластинами в направлении
первоначального потока, ось у взята по нормали к пластинам, расстояние
между пластинами принято равным 2Ъ. Функция тока ф может быть
представлена следующим образом:
Ф = + Ф'.
16-1459
