Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
анализа течения.
Для удобства обработки на поток накладывается равномерная скорость,
равная по величине и противоположная по направлению скорости падения
шара. Если в уравнениях (128) пренебречь нелинейными членами,
описывающими диффузию вихрей, эти уравнения сводятся к простому виду
При использовании сферических координат (R, Ф, ср) с вертикальной
полярной осью (направление скорости в бесконечности) и наблюдении, что в
силу симметрии ни компоненты скорости, ни компоненты вихря не зависят от
ср, и и v могут быть выражены через функцию тока Стокса в виде:
а соответствующие компоненты вихря в сферических координатах (из
приложения) составят
Ц}Х а2 Ду
V2 Ю = 0.
(151)
esc О Зф
esc О Зф
R ' dR '
I = 0 = Т]; ? = -
222
Выражение v2(r) в сферических координатах имеет такую же
форму, как выражение для v в уравнениях Навье-Стокса; компоненты его даны
в уравнении (125). Таким образом, уравнение (151) может быть записано
так:
J_ . ± (фК) + . A/Sin# К) = о.
R2 dR \ dR j R2 ftp \ ft# / R2
Обозначая через F(R, б-) величину i??sin#, подставляя вместо ? его
выражение через F и проводя необходимые упрощения, получим
d2F 1_ d2F ctg О ftF = о
OR2 R2 ' ft#2 R2 ' ft# ~
Отсюда, подставив вместо F его выражение через ф, данное в конце
предыдущего пункта, найдем
(A + _L. Л _cJli . = о. (152)
\dR2 R2 dQ2 R2 ftcp / K '
Решение уравнения (152) разделением переменных дает ф = - sin2#/ (R), где
f(R) удовлетворяет дифференциальное уравнение
- --)'/(?) = 0.
dR2 R2 ) 1 у '
Решением последнего уравнения является А_
R
f(R) = A + BR + CR2 + DR\
где
С = - - U- D = 0 2
|^по условию при R = оо, т. е.
ф = - UR2 sin2#); А -----Ua3; В = - Ua
Y 2 J 4 4
(по условию отсутствия проскальзывания на поверхности шара) Компоненты
скорости в направлении R и # соответственно равны
esc # дф г, с, п ( А . В \ "
и = . - = U cos# - 2---------------------- cos #;
R2 a# \R3 R !
CSC# Эф тт ¦ a, I A B \ . .
V =---------. - = - t/ sin # ----------------------
sin #
R dR \R3 R
Таким образом получено распределение скорости для очень медленного
движения шара.
Результирующая сила F, действующая на поверхность шара симметрично
относительно полярной оси z, дается выражением
7T
F = 2яа2 J sin#d#,
о
223
где гяг , как обычно, сила на единицу площади сферической поверхности,
действующая в направлении z\ величина этой силы может быть получена по
формуле
xR = aR cos ф - xR sin ф.
Подстановка значений aR и тДф, выраженных в сферических координатах (см.
п. 54), дает
1 ди и
R дф R
Если величины А, В, и, v и тд2 подставить в интеграл для F, вклады от
трех членов в выражении для тНг составят соответст-
4
венно 2яцйбЧ nazgp, 0 и 4лра{7. Таким образом:
1 , г, ди I dv
xR = - уh cos ф + 2\x cos ф - - p sin ф /-
F -- 6npaU ¦
1Ш gp.
to*
to3
to1
to
С SJL не
Чту. о
Л \
О */ о - 2 о -3 • ~4
10
-3
10'
Re--
!0'1
2aU
10
Рис. 84. Коэффициент лобового сопротивления для малых сфер
/-Арнольд (металлические шарики в сурепном масле); 2 - Аллен (воздушные
пузырьки в анилине); 3 - Аллен (восковые пузырьки в анилине); 4 - Аллен
(воздушные пузырьки в воде)
224
Так как движение шара равномерно, силы, действующие на него,
уравновешены. Гидродинамическая сила составляет
4 4
бяраС/, гидростатическая сила --яа3у и вес шара a3ys, где
3 3
Y" -удельный вес шара. Отсюда 4 4
-я а9 Ау = - яа3 (ys - у) = бЩ-iaU
3 3
или
S = -^-=- (153)
а2 Ду 9
Число Стокса определено. Уравнение (153), часто применяемое в
седиментальном анализе твердых частиц для установления их размера,
представляет собой так называемый закон Стокса.
Число Стокса можно определить, причем с тем же результатом, приравняв
скорость диссипации энергии и скорость совершения работы гравитационными
(вес минус плавучесть) силами на шаре. Как видно из рис. 84, где CD =
2F/na2pU2=l2v/aU, закон Стокса хорошо подтверждается экспериментами при
числах Рейнольдса, меньших 0,1. Следовательно, он представляет собой одно
из значительных достижений классической гидродинамики.
60. Ламинарные следы. Приблизительное решение целого ряда задач может
быть получено при линеаризации уравнений Навье-Стокса. Например, влияние
инерции в предыдущей задаче может быть частично учтено, если принять
конвективные ускорения в направлениях х, у и z равными соответственно
Udu/dx, Udv/dx и Udwjdx. Осин и Лэм воспользовались этим подходом к
решению Стокса для доказательства того, что характер движения в следе
отличается от характера движения перед препятствием. Можно показать, что
решение Осина - Лэма дает лучшее приближение, чем решение Стокса, всюду,
за исключением области поверхности шара, но и здесь, хотя степень
приближения уменьшается, однако все еще достаточна. Довольно любопытно,
что решение Осина-Лэма отличается от решения Стокса только в определении
характера потока; закон Стокса, данный уравнением (153), совсем не
меняется из-за частичного учета влияния инерции. Это возможно объясняется
тем фактом, что несоответствие формы потока решению Стокса на больших
