Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
p J u% dy = const.
CO
Уравнение неразрывности позволяет использовать функцию тока Лагранжа ф,
для которой и = д^/ду и v = -dty/dx.
Допустив, что ф = ах(tm)/(§), a l = byxn, и подставив эти выраже-
1 2
ния в уравнение движения, находим, что т.=- и п= , если
3 3
каждый член в конечном уравнении содержит х в одинаковой степени и если
интегральное выражение для количества движе-
228
ния потока не зависит от х. Так как ф имеет размерность [L2T~]], Mvfp-
[L5r~3] и M/pv2-[Т-1], величина а должна быть числовым постоянным
множителем при (Mv/p)v\ тогда как значение b должно быть пропорционально
(М/pv2)'f< Наиболее удобны для использования выражения
/ 9Mxv у/з , р / м У/г у
*=пг) f(0; И^) ~-
из которых можно получить и =
Штрихи обозначают дифференцирование по Подставив последние выражения в
уравнение движения, найдем
р2 _ ff" _ ^ ?///
2
Граничные условия теперь превращаются в следующие:
П± со) = 0; f (0) = Y (0) = о,
а количество движения потока составляет
со
-J- j>2^ = 1.
- со
Первое интегрирование дифференциального уравнения для f(l) приводит к
равенству
Ш + Г - 0,
где постоянная интегрирования исчезает по граничным условиям. Это
равенство можно проинтегрировать снова.
Р + Г = с\
Отсюда, считая f независимой переменной, новым интегрированием получим
с? = th-1 J- .
с
Постоянная интегрирования в последнем случае равна нулю, так как f (0)
=0. Таким образом:
/ = cthcg.
Применив граничное условие, находим, что с= 1, так что ' ЗЛ42 \'/"
Из уравнений (156) видно, что на оси струи, так же как на параболе
у=Сх2/* , компонент скорости и изменяется обратно пропорционально х'!' .
Таким образом, эпюры для и в разных сечениях перпендикулярны оси х и
подобны одна другой. Поэтому приведенное решение, принадлежащее Шлихтингу
и Биклею, называется решением подобия.
Осесимметричная струя. Осесимметричный вариант только что разобранного
случая допускает решение такого же типа. Так как метод решения подобен
рассмотренному для двухмерной ламинарной струи, здесь решается лишь
дифференциальная система и приводятся полученные результаты.
Если в плоскости, проходящей через ось струи, начало координат совместить
с отверстием и ось струи считать осью г. от которой в радиальном
направлении отсчитывать г, то модифицированное уравнение движения будет
иметь такой вид:
где член vd2w/dz2 в правой части опущен. Уравнение неразрывности имеет
вид
Так как давление вновь считается постоянным, количество движения потока
также не зависит от z. Решение системы, состоящей из уравнения движения,
уравнения неразрывности и вспомогательных условий, дается выражениями
Продольная скорость на оси изменяется обратно пропорционально продольному
расстоянию и поэтому уменьшается быстрее, чем в случае двухмерной струи.
Кроме того; вдоль любой
дг dz
а граничные условия составляют
W = 0 при Г = оо; Ш = 0 = и при г = оо;
г, dw _
и = 0 и - =0 при г = 0.
д(г") д(гш) = 0
дг
М = 2лр j w2 г dr
о
3
w = -
8л р\'г (1-4- т)2)2
3 М 1
(157)
230
радиальной линии, проведенной от начала координат, w изменяется обратно
пропорционально г, так что если известна эпюра скорости в одном сечении,
то эпюры скорости в других сечениях могут быть легко получены.
Только что приведенное решение принадлежит Шлихтингу, а применимость его
для основной области потока была подтверждена экспериментами Эпдрейда и
Тьена.
Пример 18. Решить уравнение f" + if+f2/v + k = 0 для потока между
непараллельными пластинами при малом числе Рейнольдса. Использовать для
а
1 г
числа Рейнольдса выражение Re = I f (0) d (0) =q/x и показать, что
v J
7.
о cos 20 - cos 2a
и (г, 0) = ± - ¦----------------- .
v sin 2a - cos 20
Прежде всего подстановкой f(Q)=qF(Q) превращаем уравнение в безразмерное
F" + 4F + Re F*-hk = 0.
Если число Рейнольдса достаточно мало, то F" -f 4F -f k = О
и решение составит
k
F = - - + Л sin 20 + fl cos 20.
4
Постоянные определяются из условий
a
F (± а) = 0; J F (0) d (0) = =t 1.
-1
Знак ± в последнем уравнении учитывает сужение и расширение потока. Таким
образом, получаются четыре уравнения:
k k
- - -j- A sin 2a -{- 3 cos 2a=0; - - -A sin 2a -4- В cos 2a = 0;
4 4
k
- ¦- a-j-B sin 2a = 1.
2
Из них находим, что
1 ±4 cos a
/4 = 0; ?= -;----------------; k =
sin a - 2a cos a sin a - 2u cos a
Подстановка этих выражений в приведенное выше обшее решение дает функцию
F, и окончательно имеем
cos 20 - cos 2a
F = =t--------------------------
И sin 2a - 2a cos 2a
q cos 20 - cos 2a
r sin 2a - 2a cos 2a
Это решение, приблизительное при малых величинах Re, очевидно не дает
возможности различить (за исключением знака), является ли поток
сужающимся или расширяющимся, и не дает никаких указаний об отрыве
потока.
231
Д. Устойчивость ламинарного течения
62. Общие замечания. Распространится или погаснет малое возмущение,
которое накладывается на известное первоначальное течение, зависит от
свойств жидкости, характера первоначального течения и природы возмущения.
