Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
233
где У - функция тока первоначального потока, зависящая поэтому
только от у, ф'- то же самое для возмущения. В общем
случае ф' зависит от всех трех координат и времени t, но
для
двухмерного возмущения она не зависит от 2. На некоторое время возмущение
полагается двухмерным.
Если записанную выше функцию тока подставить в следующую комбинированную
форму уравнений Навье-Стокса для двухмерного потока
ч*дА+д±ч*?± v^.i =w2(v"
dt ду v дх дх ду v " т
и если пренебречь слагаемыми второго порядка в ф', то можно найти, что
2 дф' , S'? 2 д'И Сф' 2 2/2.0
У ir+ rV т _ Т v я- = v V2 (V2 Ф ),
dt ду дх дх ду
так как VF само удовлетворяет дифференциальное уравнение, Скорость
первоначального потока составляет
" (У) = - ,
ду
так что предыдущее равенство может быть записано как
dt у дх дх vlt '
где штрихи над и обозначают обычное дифференцирование. Если и выразить
через некоторую эталонную скорость U, х и у через b, t через b/U и ф'
через Ub, то написанное равенство становится таким (без введения новых
обозначений):
V2 + "V2 ~ - "" d-f = ± V2 (V2 Ф'), (158)
dt дх дх Re
где все величины безразмерны. Для двухмерного периодического возмущения в
направлении х можно допустить, что
ф ' = (159)
где пг равно расстоянию 2Ь, деленному на длину волны возмущения Я, а
выражение
С = С, + 1C,-
имеет действительную часть сг, представляющую быстроту распространения
волнового возмущения, и мнимую часть с,-, представляющую усиление или
затухание, - все выражено через U. Для заданного числа Рейнольдса и
заданного т всегда существует определенное значение с. Как показывает
равенство (159), возмущение будет усиливаться, если с,- положительно, и
затухать, если оно отрицательно. Таким образом, устойчивость или
неустойчивость при заданных значениях Re и т зависит от знака,
соответствующего сг.
234
Подстановка выражения (159) в уравнение (158) приводит к уравнению Ор-
Зоммерфельда (1906-1908):
Ои - с) (Г - mz f) - и" f = - - (fm ' - 2m2 /" + m'1/), (160)
m Re
где штрихи всех видов обозначают обычное дифференцирование. Четыре
независимых решения уравнения (160) могут быть обозначены f., f2, /3 и
f4. Компоненты скорости, созданные возмущением, должны исчезать на
твердых границах. Так как при выражении через U они имеют вид д^'/ду, и -
д^'/дх, граничные условия записываются так:
/(1) = 0; П1) = 0; /(- 1) = 0; Г (-1) = 0.
Вследствие таких граничных условий решение уравнения (160)
/ = Afi + Bfz ф- С/з + Df&
может отличаться от обычного нулевого решения (т. е. коэффициенты А, В, С
и D могут быть не равны нулю), только если
М1) /Л1) f з(1) /4(1)
/но т /з(1) /;(D
л (- 1) /л-d /л- 0 /л- 1)
/л- о h(~ 1) гл- 1)
Этот детерминант является следствием зависимости между Re, тис, которая
после раздела мнимой и действительной частей может быть сведена к двум
равенствам:
с, == сг (т, Re); с; = сг (т, Re).
Если c,i равно нулю, то
с; (т, Re) = 0
или
т = т( Re),
что соответствует кривой, разделяющей пространство т-Re на области
устойчивости и неустойчивости.
Этот общий подход был использован Толминым и Шлихтин-гом для исследования
устойчивости существенно параллельного потока над полубесконечной
пластиной. Хотя в этом случае верхней границы не существует, основы
описанного метода могут быть применены после некоторой модификации его. В
1945 г. Линь уточнил результаты Толмина и Шлихтинга, так что теперь между
экспериментальными данными, полученными Шубауером и Скрамстедом в 1938
г., и теоретическими результатами существует почти полное соответствие
(рис. 86). В этом случае т = 2пЬ\!% и Re=l/6i/y, где 61 - толщина
смещения пограничного слоя, определенная в п. 82.
16*
235
Начальная устойчивость ламинарного течения между вращающимися
концентрическими цилиндрами была подробно исследована Тэйлором как
теоретически, так и экспериментально, хотя только при малой разнице в
величине их радиусов. Как видно из рис. 87, где Hi и Н2 соответственно
угловые скорости (в одном направлении) внутреннего цилиндра (г, = 3,8 см)
и
О 800 /600 2т 3200
Re
Рис. 86. Устойчивость потока в пограничном слое
/ - погашение; 2 - Линь; 3~ Шлихтинг; 4 - увеличение
внешнего цилиндра (г2 = 4,04 см), расчеты Тэйлора поразительно хорошо
подтверждаются его экспериментами. Как видно из того же рисунка, если
циркуляция на поверхности внутреннего цилиндра меньше, чем циркуляция на
поверхности внешнего цилиндра, то Qi rf<Q2 г\ и поток всегда устойчив,
как бы ни были велики Qi и Q2- Это было установлено Сингом (1938) пу-
К?
v
Рис. 87. Устойчивость потока между концентрическими цилиндрами
/ - неустойчивый; // - устойчивый; / - результаты вычислений; 2-
результаты наблюдений
236
тем точных расчетов осесимметричных бесконечно малых возмущений с
показательным фактором времени.
Тэйлоровский подход отличается от описанного только тем, что неизвестные
функции, соответствующие f(y) в уравнении (159), распространяются в виде
бесконечных рядов, так что четыре из шести граничных условий (о том, что
