Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
непараллельными пластинами имеет строгое решение, желательно привести его
для лучшего представления механизма отрыва. Как будет показано дальнейшим
анализом, сходящиеся ламинарные потоки между непараллельными пластинами
всегда свободны от отрыва, тогда как расходящиеся
212
ламинарные потоки показывают отрыв, если угол между пластинами превышает
предел, зависящий от критического числа Рейнольдса.
Для анализа задачи удобно воспользоваться цилиндрическими координатами, у
которых ось 2 является линией пересечения границ, г - расстояние от этой
линии, а 0 измеряется от плоскости, разделяющей пополам двухгранный угол,
образованный границами. Если поток в дополнение к его двухмерности
является чисто радиальным, н = ш = 0, и интегрирование уравнения
неразрывности d(ru)/dr = 0 непосредственно дает u=f(Q)/r. Соответствующие
уравнения Навье-Стокса тогда имеют вид
где штрихи представляют последовательное дифференцирование функции /(0)
по 0. Из этих двух равенств получается
Здесь k и С - постоянные. Из всех трех уравнений следует, что
Интегрирование этого выражения после умножения на 2f' дает
где g - еще одна постоянная интегрирования. Решение этого уравнения
дается некоторой эллиптической функцией - функцией Вейерштрасса. Основные
свойства потока, однако, могут быть рассмотрены и без знания этой частной
функции.
Две постоянные интегрирования в уравнении (141) и третья постоянная,
появляющаяся после его интегрирования, определяются из условий
где а - половина угла, образованного твердыми границами, и интегрального
условия
Не приводя полного решения, ограничимся рассмотрением задачи с
акцентировкой внимания на явлении отрыва пограничного слоя.
/2 _ У
(140)
f" + 4f + - + k = 0.
V
/ 2 ~ ~^{g - 3v&/ • 6v/2 - /3),
OV
(141)
/(±"0 = 0,
a
j / (0) dQ = q.
213
На границах /=О, так что из уравнения (141) получаем
f'2(+ а) = - .
' v - ' 3v
Таким образом, g не может быть отрицательным. Для чисто расходящегося
потока / всегда положительно. Если / = /i при 0 = 0, тогда, поскольку/ДО)
= 0 по условиям симметрии, отсюда следует, что
g - 3v^/j - 6v/2 - // = 0.
Решив это уравнение для 3vk и подставив результат в уравнение (141),
получим
f = - f) [/2 + / (6v + h) + -j-
или после интегрирования по /
3v р df
а 1
I (h-fP
2 j) (h-fP2[f* + f(6v + h) + g!hp*
Так как g, f и /1 - все положительны, fi > / из предыдущего уравнения.
Таким образом, интеграл всегда положителен. Следовательно, наибольшая
возможная величина а при данных числах Рейнольдса Re = /i/v = ruMaKC/v
соответствует ? = 0 или из равенства //2(±а) =2h/3v - состоянию
неизбежности отрыва. Чтобы найти Омакс в зависимости от Re, g в последнем
уравнении принимается равным нулю, а / равным Д (к - просто безразмерная
переменная):
1
d%
"макс ~|/ 2Re j (1_/
(142)
-Я)^[^ + Л(1 +6/Re)]'^
и
или при X = COS2l|)
(Re + 3)'/2aMaKC=/ 3 Г A-------------------------------.
0 |l - - (1 + 3/Re)-1 sin2 Для очень больших значений Re это сводится к
Re7' амаКС = /3~ Г -----------^-------- = 3,21. (143)
о (l - - sin2 Ф]
Уравнение (143) представлено графически на рис. 79. Интересно отметить,
что если Re очень мало, уравнение (142) дает
Отсюда, если границы образуют угол больший, чем л, отрыв происходит
независимо от величины Рейнольдса.
Для чисто сходящегося потока положение совершенно противоположное. Если
уравнение (141) переписать в форме
/,2 = ~-(/1-/)(/2-Мз-/), (144)
где f 1, f2, /з - корни правой части равенства, то получим fi + /2 + /з =
- 6v; hf3 + /3/1 + /1/2 =
О 50 100 150 200 750
Re
Рис. 79. Угол разделения для диффузора
Так как g не может быть отрицательным, один из корней, например fь не
отрицателен. Из трех последних уравнений находим, что два других корня
должны быть или комплексно сопряженными, или оба действительными и
отрицательными. Однако, когда 0=0, f' исчезает, a f становится
отрицательным, так как u = f/r и рассматривается сужающийся поток. По
уравнению (144) значение f должно быть равно f2 или /з. Таким образом,
как /2, так и /3 - действительны и отрицательны. Далее, если )г>f3, то f
должно находиться между f2 и нулем, потому что иначе правая сторона
уравнения (144) становится отрицательной. Таким образом, когда 0=0, /=/2,
так как и при 0 =0 должно быть максимальным.
Теперь, если
Re = - = r-^ ; -L = %¦,
/2
где X - просто новая переменная, то первое из трех предыдущих уравнений
записывается так:
1 - Хх + Х3 - - ,
Re
(145)
а интегрирование уравнения (144) дает
[(1 - Х)(Я3 - Я) (Я.х - Л)]1/'
Так как Х3 очень близко к единице при сколь угодно больших величинах
Re1/2 а, то значение X всегда положительно (откуда значение /
отрицательно). Поэтому при заданном угле а отрыва не произойдет даже при
очень больших числах Рейнольдса, или, иначе, при заданном числе
Рейнольдса а может быть как угодно велико без угрозы отрыва жидкости от
границы. Если (для больших чисел Рейнольдса) Х3 близко к единице, то, как
видно из уравнения (145), Xi должно быть близко к двум. При Х3=1 и Xi = 2
