Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
имеем
где th2p=2/3, так что р= 1,146. Уравнение (146) графически изображено на
рис. 80. Как видно из рисунка, при больших величи-
что для больших чисел Рейнольдса дает
* = = -= 3th"[l/^(a-e) + pl-2l (146)
12 ит _ f г
О /2145
(a-в) /йё
Рис. 80. Распределение скорости в конфузоре
216
нах Re значения и и ит почти равны, за исключением тонкогс клинообразного
слоя у каждой стенки, толщина которого пропорциональна Re"l/2. Таким
образом, для сужающегося потока при больших числах Рейнольдса течение
существенно потенци-
Рис. 81. Безразмерные компоненты скорости в ламинарном потоке у
вращающегося диска
ально, за исключением областей, прилегающих к границам, где
концентрируются вихри. Далее, для Аз=1 и Ai = 2 из уравнений, выведенных
из равенства (144), найдено, что kv~ -f\\ приняв постоянную С в уравнении
(140) равной нулю, получим
yh _
/2 2 т\
О (Re-1)],
или
Re
где 0[u2jRe] представляет величину порядка м^/Re,исчезающую при больших
числах Рейнольдса. Это значит, что к потоку с большими числами
Рейнольдса, за исключением областей вблизи границ, применимо уравнение
Бернулли. Этот факт и то, что основная часть потока потенциальна при
больших числах Рейнольдса, оправдывают допущения пограничного слоя,
принятые в следующей главе.
Ламинарное течение, созданное вращающимся диском. Если бесконечная
пластина вращается с постоянной угловой скоростью Q в вязкой жидкости,
заполняющей полубесконечное пространство вокруг нее, то жидкость вблизи
пластины будет вра-
217
щаться вместе с ней. Это, очевидно, объясняется оттоком жидкости от оси
вращения потока вследствие возникновения центробежной силы. Для
удовлетворения условия неразрывности жидкость из более отдаленных
областей будет спускаться к пластине. Если воспользоваться
цилиндрическими координатами, совместив ось вращения с г = 0, а плоскость
пластины - с плоскостью 2 = 0, то граничные
-150
-17S
ci
"*>
-2,00
-2$
\гс": ,88/VfTe
Tfe, 1 Л 1 4 1 i 1 (r)°° 9
условия состоят:
и - 0; v = rQ; w = 0 при 2 = 0; и- 0; о = 0 при 2 = оэ.
Карман принял, что u = rQF(Q; v = rQG(Q;
w = {vQ)'/гЯ (0; yh = - pvQP (?),
где
v
lg Re
z.
Рис. 82. Коэффициент момента для вращающегося диска
Е2 - G2 + F Н = 2FG + G' Я = G' ННГ = Р' + #",
Из уравнений Навье- Стокса получаются выражения:
F":
(147)
в которых штрихи обозначают дифференцирование по ?. Уравнение
неразрывности принимает вид
2F + H' = 0, (148)
а граничные условия становятся такими:
F - 0; G = 1; Н - 0 при ? = 0;
F -> 0; 0 = 0, когда Z, ->• со.
Система дифференциальных уравнений (147) и (148) и граничных условий была
решена Кокраном способом последовательного приближения. Результаты
приведены на рис. 81, откуда видно, что F и G довольно быстро
приближаются к нулю. Следовательно, если vQ мало, u/Qr и v/Qr существенны
только а тонком слое вблизи границы при толщине слоя порядка
2)8
(v/Q)l/a. Кроме того, интегрирование третьего уравнения из системы (147)
показывает, что
Я(?)-Я(0) = ^-Я2(0-Я' (0=|ЯЧ2 F,
так как Я(0)=0, Я'(0)=0 по уравнению (148) и Я(0) = 0. Таким образом,
разность yh =-pvQP имеет величину порядка pvQ не только в пограничном
слое потока, но и во всей жидкости. При малых значениях pvQ
пьезометрический напор везде существенно постоянен.
Результатами Кокрана можно воспользоваться для расчета момента
вращающегося диска радиусом а, если пренебречь краевым эффектом.
Касательное напряжение на диске дается выражением
dv ^ л,пз\'/-'
дг
тг9 = Pv ^7 = р (vGT'rG7 (0),
так что момент с одной стороны диска составляет
а
- J 2л г2 тг0 dr = я а4 р (v й3)Чг G' (0).
о
Полный момент (с обеих сторон), выраженный через число Рейнольдса Re =
a2Q/v, равен
М = -яО'( 0)^,
Re
а безразмерный коэффициент момента составляет
? М 2nG' (0) 3,88 П49)
Mi iz l/* ' ^
-Lpa'0* Re/* Re/=
2
так как G'(0) =0,616. Последнее уравнение хорошо подтверждается
экспериментальными данными, полученными Рябушинским при ламинарном режиме
(рис. 82).
Ламинарное течение по бесконечной пластине. Если застойную точку
двухмерного ламинарного потока на бесконечной пластине принять за начало
координат, где у показывает расстояние от пластины, х- расстояние вдоль
пластины в плоскости потока, тогда уравнения (123) и уравнение
неразрывности будут решаться при граничных условиях и = и = 0, когда у =
0, и и = 0, когда х = 0.
По аналогии с безвихревым потоком можно принять, что
где р - производная постоянная с размерностью [7'~_1], характеризующая
общую интенсивность потока. Тогда первое уравнение движения будет иметь
такой вид:
ди , ди "о и ----------(- V = R2
I id^u | д2и\
В2 х + v ----------------------.
дх ду ^ \дх3 ду*1
Если использовать функцию тока ф, то выражения
дф дф
и = - и у = --
ду дх
автоматически удовлетворяют уравнение неразрывности. Из вы-
ражений
следует, что
и = рxf' (Г)) И V = - (vp)v7 (Г)), так что первое уравнение движения
записывается
(150)
j +f"\
Граничные условия таковы: /(0) = 0; f/(0)=0. Если, принимая во внимание
