Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
сумма
СО
нн= ?л"со5 (2n+l^y e-Vn+Dw/b (138)
л=0
удовлетворяет уравнению движения и граничным условиям, остается только
определить Ап с учетом, что ип = -wy при t - О. Но из условия
? ЛПС05 <2Я+1)"У. = -Цу
п=0
коэффициент Фурье Ап получается по формуле
Ы 2
Ап =¦ Y j*- "уcos (2п+^)пу dy
о
Таким образом, задача решена полностью. При t, приближающемся к
бесконечности, ип согласно уравнению (138) приближается к нулю и и
приближается к решению для установившегося движения иу. Эпюры скоростей в
различных стадиях развития установившегося движения показаны на рис. 78.
В случае прямоугольного поперечного сечения применяется тот же метод, за
исключением того, что используется двойной ряд Фурье. Для круглого и
эллиптического поперечных сечений собственные функции являются
соответственно функциями Бесселя и функциями Мату. Последние пока еще не
табулированы. Метод решения их, однако, идентичен показанному на примере
течения между параллельными пластинами.
Если градиент пьезометрического напора произвольно меняется во времени,
только что найденное решение может быть использовано для построения
искомых решений по методу наложения Дюамеля, являющемуся обычным методом
в теории тепло-
210
проводности. Согласно методу Дюамеля, если распределение скорости при
внезапном приложении и постоянном поддержании единичного градиента дано
функцией Ф(г/, z, t), то для переменного градиента f(t) это распределение
составляет
t
" = fФ(У, z,t - x)^^-dt+f(0)Q>{y,z,t). (139)
о
Смысл уравнения (139) таков: площадь под кривой функции f(t) может
рассматриваться как состоящая из полубесконечных
Рис. 78. Установление ламинарного движения между параллельными границами
полос постоянной ширины. К полосе шириной f(0) добавляются через
интервалы времени т полосы шириной df{%) или dx.
Решение /(О)Ф(г/, z,t) соответствует полосе шириной /(0), а решение Ф (у,
z, t-x)df(x)-полосе бесконечно малой ширины df(x), начинающейся при t -
x. Сложение всех полос дает уравнение (139). Метод Дюамеля очень полезен,
так как во всех практических случаях действующие силы не только
прилагаются постепенно, но и изменяются произвольно во времени.
58. Движение, описываемое нелинейными уравнениями. Если нелинейные
слагаемые в уравнениях Навье-Стокса не исчезают, получить точное решение,
удовлетворяющее условию отсутствия проскальзывания на твердых границах,
обычно очень трудно. Известны только пять существенно различных и
физически
211
значимых решений такого рода. Самые важные из них принадлежат Блазиусу
(1908), Хейменцу (1911) и Гамелю (1917). Гамель при исследовании
вращающегося потока, линии тока которого являются также линиями тока
соответствующих потенциальных потоков, столкнулся с задачей
установившегося двухмерного течения вязкой жидкости между непараллельными
пластинами. Вскоре после этого Карман опубликовал преобразования, которые
сводили задачу о потоке, созданном вращающимся диском, к системе четырех
обыкновенных дифференциальных уравнений; они были решены Кокраном более
чем через десять лет. Как будет показано, расчеты Кокрана хорошо
подтвердились для ламинарной области экспериментальными работами
Рябушинского, проводившего исследования также и в турбулентной области.
Поток между двумя вращающимися параллельными дисками был сравнительно
недавно рассмотрен Шульцем-Грюновым и Батчелором (1951), но так как его
решение может быть получено из преобразований Кармана, то это
исследование нельзя признать существенно новым. Задача о двухмерном
потоке на плоской пластине была полностью решена Блазиусом и Хейменцом, а
решение для соответствующей осесимметричной задачи было подобным же
образом получено Хоманном. Точное решение для круглой ламинарной струи
было выполнено совсем недавно Сквайром, это решение является
математической аналогией решения Гамеля для потока между непараллельными
пластинами. Однако его независимое решение приблизительно на год раньше
было дано в кратком виде Ятсеевым как одно из точных решений уравнения
Навье- Стокса.
Тот факт, что все полученные точные решения подтверждают допущения теории
пограничного слоя (см. главу VII) для наиболее важной области течения,
является, возможно, наиболее существенным результатом этих решений. Из-за
недостатка места здесь приводятся только три решения: Гамеля - вследствие
его непосредственного отношения к явлению отрыва; Кармана и Кокрана - так
как оно иллюстрирует роль центробежных сил; Хейменца - благодаря его
тесной связи с решениями типа пограничного слоя для потока позади тела
произвольной формы.
Течение между непараллельными пластинами. Как неоднократно отмечалось, в
напорном потоке жидкости, протекающей по трубопроводу, отрыва обычно не
происходит при сужении (за исключением случая резкого изменения формы
границ), но он почти всегда наблюдается при расширении. Это несомненно
объясняется тем фактом, что при сжатии потока давление уменьшается, а при
расширении его давление увеличивается. Так как задача о потоке между
