Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
размерность, как диффузию количества движения. Величины а, а' и v имеют
общее свойство, заключающееся в том, что все они являются кинематическими
величинами. Отношение v/a или v/a' является показателем способности
жидкости диффундировать количество движения по сравнению с ее
способностью диффундировать тепло пли массу; это отношение называется
числом Прандтля. Для большинства газов число Прандтля имеет величину
порядка единицы, для жидкостей его величина изменяется в широких пределах
от 0,01 для ртути до 5 для воды.
53. Скорость диссипации энергии. В п. 27 было показано, что выражение
определяет скорость, с которой совершается работа по изменению объема и
формы частицы жидкости. Если в уравнениях (120) выразить компоненты
напряжения через компоненты скорости деформации, приведенное выражение
примет вид:
[-р0 *+ 7.02 + р (2а2 -f- 2b2 -f- 2с2 + f2 -f g2 -j- h2)] bx by bz.
Для потоков несжимаемой жидкости, когда 0=0, это выражение может быть
заменено следующим:
представляет диссипацию механической энергии в единице объема за единицу
времени вследствие действия вязкости, называемую диссипативной функцией.
Энергия, теряемая при вязкостной диссипации, превращается в теплоту и
является невозвратной. Из уравнения (121) следует, что диссипативная
функция стремится к нулю только если скорость деформации также стремится
к нулю, т. е. только в случае быстрых перемещений и вращений тела.
Если скорость объемного расширения 0 отлична от нуля, но деформация
изотропна, то
К а + ау b + а2 с + xyz f + xZx g + xxy h) bx by bz
e bx by bz.
Здесь
e = p (2a2 + 2b2 -f- 2c2 + f2 + g2 + h2)
(121)
a = b = с = - и / = a = /г = 0.
3
Приведенное выше выражение принимает вид
13*
195
2 2
Невозвратная часть равна (ЯН р)92; Ян-----------------р. называется
3 3
объемной вязкостью.
Пример 15. Показать, что общая скорость диссипации в несжимаемой вязкой
жидкости может быть представлена выражением
"ду2 " I т п
р rn *dW - ii - dS + 2p
w s s
I
dS,
в котором N определяет нормаль к поверхности, а I, т, п-направляющие
косинусы нормали.
Вычтем из функции е п. 53 величину 2р 02, которая равна нулю:
ди dv дх ^ ду
dw \2 дг
ди
дх
+2
dv
ду
dv
ду
dw dw
+2-----------------
дг дг
+
dw
дг
2 ди
+ 2 , дх
dv
~ду
+
ди
дх
Отсюда видно, что , dv
е = [ш2 - 4р
или
6 = рсо2 -
+
д
дх
dw ду дг ди dv
ду
dv
дг
дх
дУ*
дх ду
ди
ду
дУ*
dw dw
ду дг
dv дх
= 0.
ди
дх
ду дг
дУ*
дг
Н- 2р
dw
дх
д
дх
ди
дг
(к? -а>т|) +
¦"?) + - ("П -"S)
дг
Это можно проверить подстановкой
У2 = ц2 + и2 + а"2; dw dv ди dw
? = - - - ; Т) = -
ду
дг
дг
дх
dv
дх
ди
ду
принимая во внимание уравнение неразрывности. Используя теорему Грина и
интегрируя предшествующее выражение для е, получим требуемое уравнение.
Б. Уравнения Навье - Стокса
54. Вывод уравнений. После введения уравнений (120) основные уравнения
движения в декартовых координатах, данные в п. 26, принимают более
специфический вид:
и-
В них, по предыдущему,
¦R. = JL
Dt dt ' дх у2 - оператор Лапласа, равный
ii 4- -
дх2 ду2
У -
Зг/
дг
72 _______
3z2
Если жидкость несжимаема и если массовые силы могут быть выражены через
градиенты потенциальной силы О, эти уравнения принимают такой вид:
Р
Р
Du
пи
Dv_
Dt
Dw
Dt
д / -~т(Р
дх
JL
ду
дг
рй) + р у2";
(р+ рй) + и v2y;
(р + рй) + р v2 w.
(123)
Подобные уравнения были получены Навье, Коши и Пуассоном в начале
прошлого столетия, но они базировались скорее на произвольных допущениях,
чем на учете молекулярного взаимодействия. Нынешний способ вывода этих
уравнений относится к средним годам прошлого столетия и оформлен Сен-
Венаном и Стоксом. Свое наименование уравнения получили по имени первого
(Навье) и последнего (Стокса) исследователей.
Уравнения Навье-Стокса в обычных ортогональных координатах приведены в
приложении. В цилиндрических координатах (г, 0, z) они имеют вид:
Р
ди
dt
ди .
¦и b -
дг
(Р + РЙ) dv ,
ди
dQ
+ W
ди
дг
и -
дг
dv
Hq
W -
^г(Р + рЙ) + р(у2у'
30 \
dv
дг
2
г
_2_ Эу г2 ' 30
UV
г
ди v
30 г2
dw
hi
U -
дг
dw
30
dw \
W - = дг /
(124)
dz
(р + рй) + (1V2 и>,
где
Зг2 г
д_
дг
З2
+
З2
197
В сферических координатах (R, ft, ф) эти уравнения имеют
вид:
ди , ди . ft
\-и---------------------------
dt dR R
__ д(р + pQ) _
dR
2v ctg i
du . w 3ft R sin ft
p, V Ы'
dv
dt
R2
dv . v dv UdR R '3ft
R
du Эф
2u_ 2_
R2 R2 dw j _
v2-j-w!
R
dv
aft
R2 sin ft 3ф
ay dv
R sin ft
dtp R
ay2 ctg ft |
R )
d(p -f pQ) 3ft
- p, у
2 cos ft dw
/dw
dw
4- ti -dt dR
v
~R
_2_ R2
R2 sin ft Зф ) dw , w dw 3ft ' ~
du
3ft
R2 sin2ft
1
R sin ft
R sinft ft(P + pP) + u I Зф
R2 sin ft
Зф
Ll^V2(r)
du . 2 cos ф
Зф R2 sin2 ft
?№ ffiiy Ctg ф\ _________________
__ I _
W
R2 sin2 ft
+
где
72 = - . - (tf2 R2 3R I
^3_
3R
1
R2 sin ft
3a- \
Эф j '
_3_
3ft
(125)
sin'
3ft I
+
I
R2 sin2 ft
Если все координаты измерены в единицах характерной длины d, все
компоненты скорости выражены в единицах характерной скорости U, время
