Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
произвольного поперечного сечения таково:
Два других компонента скорости равны нулю, поэтому распределение давления
в поперечном сечении является гидростатическим. Если поперечное сечение
представляет равносторонний треугольник со сторонами b и если начало
координат помещено в центр тяжести поперечного сечения, а ось у
параллельна одной из сторон, то решение таково:
Оно удовлетворяет не только предыдущее уравнение, но также условие
отсутствия проскальзывания на границах поперечного сечения. Для
прямоугольного поперечного сечения со сторонами а и b в направлениях у и
2 предыдущее уравнение представится в виде:
где т - целое число. Это уравнение, очевидно, удовлетворяет граничные
условия и = 0 при у = 0 и у = а. Коэффициенты Ат и Вт должны быть
определены в соответствии с граничными условиями и = 0 при 2 = 0 и z = b.
Еслй граничное условие при 2 = 0 удовлетворяется, то
откуда коэффициент Ат может быть определен по формуле Фурье:
w
Х.^(а2_г2).
4|х dx
(134)
(135)
со
Граничное условие при z=b = na требует, чтобы
О
у dh 2ц дх
у (у - а) + V sin (Ат ch тп я + Вт sh тп я).
п
т- 1
При сравнении с равенством для г = 0 видим, что Ат ch тп я + Вт sh тп я =
Ат.
Отсюда
В," =
Am(ch тп л - 1)
sh тп л
У_
Ь
Рис. 77. Распределение скорости в трубопроводе прямоугольного поперечного
сечения
После такого определения коэффициентов Ат и Вт решение уравнения (137)
завершается. На рис. 77 показаны в безразмерном виде изотахи при а/6 = 2.
Задача ламинарного течения при продольном градиенте пьезометрического
напора в длинном водоводе постоянного, но произвольного поперечного
сечения в самом общем случае может решаться или конформным отображением,
или методом релаксации. Для решения исходного уравнения движения удобно
ввести новую переменную
= ^(У2 4 z2),
4ц дх
которая удовлетворяет уравнению Лапласа
д2 Ui , д2 их q
ду2 дг2
и удовлетворяет граничным условиям в соответствии с отсутствием
проскальзывания. Таким образом, если может быть найдено отображение
поперечного сечения на круг, то задача сводится
208
к задаче Дирихле для круга. С другой стороны, метод релаксации, описанный
в п. 39, теперь вполне доступен. Следует заметить, что в соответствии с
исходным уравнением движения средняя скорость, взятая по малой окружности
(в плоскости уг) вокруг произвольной точки в жидкости, всегда меньше, чем
скорость в этой точке. Иными словами, тормозящее влияние стенок
передается силами вязкости каждой точке в жидкости. Математически это
выражается процессом релаксации, который является одним из методов
последовательных приближений для оценки влияния и решающей роли граничных
условий для всего потока.
Тот факт, что скорость ламинарного потока в трубе пропорциональна
смещению тонкой мембраны (натянутой по поперечному сечению), объясняется
превосходящим давлением с одной ее стороны. Это явление было впервые
отмечено Прандтлем и получило название мембранной аналогии. Смещение ?
мембраны в направлении х определяется уравнением
где 6р - разность давлений до и после мембраны, а Т-поверхностное
натяжение. Подобие этого уравнения исходному уравнению движения очевидно.
Так как граничные условия идентичны, и и | исчезают на границах
поперечного сечения. Таким образом, правильно подобрав 6р, можно добиться
числового совпадения и и |.
57. Неустановившееся движение, описываемое линейными уравнениями.
Задачи неустановившегося потока, для которого нелинейные слагаемые в
уравнениях движения исчезают, в общем виде решаются использованием так
называемых собственных, функций. Решения получаются довольно просто для
прямоугольного или круглого поперечных сечений.
Применение собственных функций лучше всего проиллюстрировать,
рассматривая поток несжимаемой жидкости между двумя бесконечными
параллельными пластинами, расположенными на расстоянии b одна от другой,
движущийся под действием градиента пьезометрического напора в направлении
х, приложенного в момент времени /==0. Уравнение движения при этом
составляет
если ось у перпендикулярна пластинам. При расположении начала координат
на середине расстояния между пластинами асимптотическое распределение
скорости дается следующей формой уравнения (132):
ду" дг2
6р
Т
ди
~dt
1
Р
dh , д2и дх "Т" ду2 '
и.
У
209
Скорость здесь обозначена ну, так как она относится к решению
установившегося движения. При иа=и- иу, обозначающем не-установившуюся
часть и, приведенное дифференциальное равенство принимает вид
диа д2ин
~dt ~ ~ду2 '
Если движение начинается из состояния покоя, то вначале ин должно быть
равно -%. Разделением переменных t и у можно найти, что cos ту exp (-
m2vt) удовлетворяет приведенному дифференциальному уравнению. Так как ип
должно исчезать при у= = ±Ь/2, т может принимать только значения
(2п+1)п/Ь, где л - любое не отрицательное целое число, при котором
удовлетворяются граничные условия. Эти величины п называются собственными
величинами и функции cos(2n+ \)лу/Ь - собственными функциями. Так как
