Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
неподвижна, а другая движется в собственной плоскости с постоянной
скоростью U в направлении х, скорости всюду направлены в сторону движения
пластины и определяются выражением
если использованы обозначения уравнений (123), причем у измеряется в
направлении, перпендикулярном пластинам при их начальном положении.
Течение, описываемое уравнением (131), обычно называют плоским потоком
Куэтта (рис. 75, а). Для течения между двумя горизонтальными пластинами,
созданного
14'
203
постоянным градиентом пьезометрического напора h=(p + Qр)/у в направлении
х, v и w снова исчезают, а и есть функция только у и определяется из
первого равенства системы уравнений (123):
д2и у dh
ду2 (х dx
Дважды интегрируя это уравнение и придавая постоянным интегрирования
такие значения, которые удовлетворяют условие отсутствия проскальзывания
по пластине, получаем:
<|32>
где b - снова расстояние между пластинами.
Течение с таким распределением скоростей называется плоским пуазейлевским
течением (рис. 75, б).
Действие скользящей опоры можно пояснить, рассматривая твердую плоскую
поверхность конечной длины, слегка наклоненную по отношению к
горизонтальной плоскости, находящейся над ней на небольшом расстоянии,
как показано на рис. 76, где наклон и расстояние между плоскостями
преувеличены. Скорость перемещения горизонтальной плоскости обозначена U.
Из-за наклона нижней плоскости в жидкости, находящейся в клинообразном
пространстве, при надвигании верхней плоскости в направлении х будет
создаваться местный градиент давления (гидростатическим эффектом
пренебрегаем), несмотря на равенство давлений на концах этого
пространства. Приблизительное установление распределения давления
базируется на вероятном допущении, что течение в любом поперечном сечении
может быть получено комбинацией двух течений, рассмотренных в
предшествующем пункте.
Из уравнений (131) и (132) следует, что расход на единицу ширины
составляет
Г , Ub dp Ь3
паи =---------------------- . - ,
J 2 dx 12ц
q =
204
где (на основании рис. 76)
b = Ьх
L
Решение для градиента давления имеет вид dp 6у U 12 уд
dx (&i - ад:)2 (&х - ах);!
Интегрирование его дает
6рР
Р =
12 р.д
а (bi - ах) 2а (Ьх - ах)2
В последнем равенстве q и С могут быть определены по условию р = Ро при х
= 0 и х=1 (гидростатическим эффектом пренебрегаем) :
С - р0-
6цЦ 12 уд _ _ Мц 6
2 abi
bi+b2
Итак, окончательно получим
p = JJ I 6yUx(L-x) (Ь1 - Ьг)
Максимальное значение находится справа от средней точки опоры, как
показано на рис. 76. Интегрирование интенсивности давления на длине L
дает полную нормальную силу на единицу ширины опоры
Р
WL* (]пс_2с~ 1
где c = bt/b2.
bi(c- ip
c+l
205
Очевидно, что Р исчезает при параллельных плоскостях (для которых с= 1) и
делается отрицательным при с, меньшем единицы. Дифференцирование по с и
приравнивание результатов нулю дает с = 2,2 и соответствующее значение Р.
где Ьт - среднее расстояние между плоскостями.
Хотя результаты, приведенные в этом пункте, строго говоря,
не являются точным решением уравнений Навье - Стокса, они
иллюстрируют применение двух точных решений, рассмотренных в предыдущем
пункте.
Ламинарное движение между концентрическими цилиндрами давно привлекало
внимание исследователей. Течение несжимаемой жидкости, созданное
вращением любого цилиндра с постоянной угловой скоростью ?2, известно как
поток Куэтта. Распределение скорости для этого потока следует интегралу
уравнения Навье - Стокса в цилиндрических координатах (г, 0, z)
Dv , uv у dh . /, ,2 du v \
-- = -- • -и v н- ¦------------------------->
Dt г рг д<д V Р 50 r°- J
где v обозначает компонент скорости в направлении увеличения 0. В этом
случае приведенное равенство превращается в обыкновенное дифференциальное
уравнение
Приняв решение в форме v = rn и применив n=± 1, с учетом граничных
условий получим
где /ц - радиус вращающегося внутреннего цилиндра и г2 - радиус
неподвижного внешнего цилиндра.
В выражении (133) первый член в скобках представляет вращательное
движение, которое является безвихревым, но диссипативным, в то время как
второй член соответствует вращению твердого тела и является чисто
вращательным, а поэтому недиссипативным. Уравнение Навье - Стокса для и
служит только для определения изменения пьезометрического напора при
изменении г, уравнение для w пренебрежимо.
Ламинарное течение в трубах также относится к явлениям вязкости,
исследованным аналитически и экспериментально. Распределение скорости в
трубе радиусом а, созданное продольным градиентом пьезометрического
напора, получается непосредст-
Р,
макс
0,41 pUL1
cPv
+
г dr
1 dv
v
0.
(133)
206
венным интегрированием соответствующего уравнения Навье - Стокса в
цилиндрических координатах:
Такое течение известно как поток Хагена-Пуазейля. Точное решение имеется
и для продольного потока через кольцевое пространство между
концентрическими цилиндрами. Оно может быть наложено на поток Куэтта.
Уравнение движения для равномерного, потока в направлении х по водоводу
