Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
сохранению безвихревого состояния во всем потоке. Однако поскольку
безвихревое течение всегда подразумевает наличие проскальзывания у
неподвижной границы, требование отсутствия его для вязкой жидкости
несовместимо со стремлением сохранения безвихревого состояния
200
в потоке. Если движение начинается, например, из состояния покоя, и
накладывается условие отсутствия проскальзывания, вихри обязательно будут
зарождаться, у неподвижной границы и диффундировать от нее в толщу
потока.
Для двухмерного движения уравнения (128) сводятся к такой простой форме:
где V2- двухмерный оператор Лапласа.
Если ? является функцией только t и цилиндрической координаты г,
уравнение (128) принимает вид
поскольку компоненты скорости по г исчезают, и все другие величины
зависят только от г.
Можно показать, что уравнение (129) идентично подобному уравнению
диффузии тепла в двухмерной области. Эта тепловая аналогия создает очень
удобный способ иллюстрации диффузии вихрей от источника. Цилиндр,
вращающийся в жидкости, можно рассматривать как источник вихрей, а
геометрически подобный нагретый стержень как источник тепла. Если радиусы
этих двух цилиндров принимаются стремящимися к нулю, в то время как их
напряжения (циркуляция и содержание тепла) остаются постоянными, они
будут представлять в пределе линейный вихрь и линейное распределение
конечного количества тепла. Если последнее вводится внезапно в некоторый
бесконечный проводник постоянной температуры, добавляемое тепло будет
диффундировать во внешнюю среду, пока (через бесконечный промежуток
времени) температура (т. е. концентрация тепла) не вернется к своему
начальному значению во всех точках. Аналогичное явление будет наблюдаться
при внезапном введении линейного вихря в безграничную жидкую среду,
находящуюся до этого в покое: завихренность на любом радиальном
расстоянии будет постепенно увеличиваться, а затем уменьшаться, пока (как
температура в первом случае) через бесконечный промежуток времени
циркуляция станет постоянной во всех точках, т. е. поток станет опять
безвихревым. Если образующемуся линейному вихрю придается нулевая
циркуляция, будет происходить обратный процесс, пока опять-таки спустя
некоторое время циркуляция станет равной нулю.
Если напряжение вихря обозначить Г0, распределение завихренности для двух
процессов может быть записано так:
(129)
(130)
Г" g 4 v/,
4л \t2
14-1459
201
Справедливость уравнения (130) может быть доказана непосредственным
дифференцированием. Изменение ? во времени показано на рис. 74, а.
Последовательные изменения в потоке можно очень наглядно представить,
если получить распределение скоростей для двух случаев, исходя из
характера завихренности. Поскольку rt, = d(rv) /дг, скорость при учете
начальных условий может быть найдена простым интегрированием. В первом
случае имеем вихрь напряжением Го/2я, так что r0v0=Г0/2я; во втором
случае вихрь отсутствует, так что rQOo = 0. Таким образом, приведенные
уравнения после интегрирования дают выражения:
Рис. 74. Диффузия завихренности от линейного вихря
0l = ±JL е 4= до | { 2лг 2пг
графики которых для последовательных моментов времени t показаны на рис.
74, б.
Пример 16. Получить из уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости
уравнения скоростей изменения трехчлена Бернулли В; определить1^ 2 В. Из
главы II известно, что
Du ди <Э(Т2/2)
------------' 1 • а)т\
Dt dt ' дх
Подстановка в уравнение (123) дает три уравнения следующей формы: дБ
ди
дх dt
+ wr] - vl, - vy2 и,
где
V2 р
-+-+fi. 2 Р
202
В случае установившихся условий можно показать последовательным
перемножением на u/V; v/V, w/V, что
дВ v
= - (UV2 11 + ну2 v + wV2 w) ¦
ds V
Если y2E=0, то B = const вдоль линий тока, как при течении невязкой
жидкости. В противном случае трехчлен Бернулли изменяется вдоль линий
тока в зависимости от вязкости и распределения скорости. Это изменение
может быть местами положительным или отрицательным.
В случае течения вязкой жидкости с и={(у, г), u = 0, w = О,
Если, например, и = 4ит(у/Ь- У2/Ь2), как на рис. 75,6, то дВ vum
дх №
Величина у2В может быть представлена так:
\ ду дг ) \ дг дх j \ дх ду 1
Члены, содержащие v и местные ускорения, сокращаются вследствие
неразрывности; таким образом,
V2 В = - (rot V)2 + V-rot rot V.
Пренебрегая членами второго порядка малости, получиму2В=0.
дВ
дх
д2 и
~ду*
о2 и
В. Точные решения уравнений Навье - Стокса
56. Линейное установившееся движение. Хотя уравнения Навье - Стокса из-
за наличия конвективных членов в общем случае не линейны, имеется особая
группа потоков, при которых эти члены исчезают. Решение системы
дифференциальных уравнений, состоящей из уравнения движения, уравнения
неразрывности и граничных условий, для таких потоков обычно очень
несложно, особенно при установившемся течении.
Можно показать, что для ламинарного течения между двумя горизонтальными
пластинами, находящимися на расстоянии b друг от друга, одна из которых
