Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
для определения их приблизительных функциональных форм в области, где они
оба действительны.
Складывая уравнения (253) и (258) при допущении их одновременного
применения, получаем
а==/(у*> k*)+g(e,H)F(t],H).
Дифференцирование равенства (259) по у дает
JV I g dF ду*
Области законов пограничного слоя
внутренний закон; 2 - область наложения; 3 - внешний закон
v dy* ' 6 дц
Новое дифференцирование по у дает
= 0.
(259)
(260)
' d*L
ду*2
+
JL
6*
d2F
дц2
0.
Из двух предыдущих равенств следует
дг//ду*
d2F/dr\2
(261)
df/dy* dF/d т)
Но поскольку у* = r\(dujv) и диг /v меняются с числом Рейнольдса,
очевидно, что у* и rj могут изменяться независимо и каждый член уравнения
(261) должен быть постоянен. Обозначая постоянную через п-1, получаем
* d2f/dy*2
df/dy*
- п ¦
1.
Если п = 0, последовательное интегрирование дает
**) = ci (**)1п у* + а оk*)
21*
323
и точно так же
= слШ . р (Г}> Н) = СДЯ) In л + в (Я).
Зц г)
Подстановкой в равенство (260) получаем уравнение
Сх (к*) + ? (а, Я) С2 (Я) = О,
из которого видно, что при независимых величинах к*, Я и ст значения Ci,
С2 и g постоянны, если п = 0. Далее, так как постоянная g может быть
введена в функцию Я равенства (258), она может быть принята равной
единице. Отсюда, положив Ci = -С2 = С, получим:
/(у*, А*) = С(А*)1п0*+Л(Л*); (2G2)
F (л, Я) = - С (A*) In л + В (Я). (263)
Таким образом, эпюры скоростей в области наложения удовлетворяют линейным
логарифмическим соотношениям. Подстановка в равенство (259) теперь дает
а = A{k*) + B(H) + С1п?, (264)
Ьи
где g _____1-соотношение между толщиной пограничного слоя
и касательным напряжением на стенке. Логарифмические законы хорошо
подтвердились экспериментально для потоков в трубах и каналах, но для
течения в пограничном слое положение гораздо менее удовлетворительно.
Прямые линии эпюр скоростей, построенных в полулогарифмических
координатах в соответствии с внутренним законом, нередко походили на
касательные к кривым, построенным в обычных координатах.
Если предположить, что п не равно нулю, то последовательное
интегрирование дает
= па (к*) уя~\ f {у*, к*) = а {к*) у*" + Ь (к*) (265)
ду*
и точно так же
- = г\а! (Н)цп~1-, F (тр Я) = а' (Я) rf + Ь' (Я). (266)
Зт]
Из подстановки в уравнение (260) следует а (к*) у*п + g (а) а' (Я) цп - 0
или
а из подстановки в уравнение (259) получаем
ст = ау*п + b + g (ст) (а' if +Ь') = Ь (k•) + g (ст) Ь' (Я),
324
так что
Отсюда
(268)
и закон дефицита скорости принимает вид.
(269)
Предшествующий анализ показывает, что формулы типа (265) и (266) служили
бы лучшей основой, чем обычно употребляемые логарифмические соотношения,
для вывода так называемых универсальных законов для характеристик
пограничного слоя. Оказалось, что логарифмические формулы составляют
только один член семейства возможных формул, из которых должна быть
выбрана наиболее подходящая для пограничного слоя. К сожалению, имеющиеся
в настоящее время данные недостаточны для такого выбора, главным образом
из-за практической ограниченности чисел Рейнольдса, которые могут быть
получены в лаборатории.
Ряд данных о пограничном слое на плоской пластине при нулевом градиенте
давления, нанесенных на график на основе простейшего вида закона дефицита
скорости [уравнения (255)], показан на рис. 112. Данные, полученные при
различных состояниях вдоль пластины, ложатся около одной кривой. Этим
доказывается справедливость допущения, что функциональные соотношения не
зависят не только от числа Рейнольдса, но и от профилирующего параметра
Н, хотя эта функциональная независимость, особенно от Н, может
обусловливаться очень малым диапазоном как чисел Рейнольдса, так и Н. Из
рис. 112 видно, что логарифмический закон распространяется примерно до
г]2 = 0,16, при больших значениях т] до единицы, что соответствует у = б,
данные образуют кривую. Таким образом, только около 1/7 пограничного слоя
подчиняется закону стенки, и, как видно из рис. 110, логарифмический
закон распространяется приблизительно от значений у* =30 до г]2 = 0,16.
При небольших числах Рейнольдса разница в значениях у*, у и г\2 мала,
однако с увеличением чисел Рейнольдса разница также увеличивается до тех
пор, пока логарифмический закон не становится определяющим почти для всей
части пограничного слоя, где действителен закон стенки. Нижний предел
применимости логарифмического закона может быть получен приравниванием ух
и у2, для которых у\ =yiujv и цз = =у21д. Это дает
325
6 tt.
V
У i %
187,5
и из уравнения (264)
0 = 6 Н- 61g 187,5 ^ 19,6.
Отсюда С_ = 2/а2 = 0,0052, что для плоской пластины при нулевом градиенте
давления соответствует числу Рейнольдса около 1,5-105.
93. Пограничный слой на плоской пластине. Порядок применения законов
подобия и уравнения количества движения для получения характеристик
турбулентного пограничного слоя может быть легко проиллюстрирован на
примере плоской пласти-
12
10
и 8
1(Гг
±
4 s a IQ-1 г
>°
?
