Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
9О° ит=1.
Применим преобразование Манглера [уравнения (238)] для пересчета потока у
конуса в поток у двухмерного клина.
Так как r0 = x sin 0о, то
х3 ¦ 9 п ХУ ¦ А
xD - - sin2 0n; yD- -x- sin 0O; p 3L2 o> vp L o.
Up = ?/ = cxm = cp x(tm)p ,
где
cp = с (3L2 esc2 0o)m/3, a mp = m/3.
Ho для соответствующего двухмерного потока половина вершинного угла клина
равна Q0P = mP/(mP+\) =mj(m + З) рад. Такихд образом, вершинный угол для
соответствующего клина отличается от 0о. Например, когда 0о = 9О° и т= 1,
то 0Ор=45°. Эпюра скоростей в плоскости хРуР имеет вид
ТГ = Г{1\Р),
ир
311
где
Ля Ур
V
Отсюда, поскольку u/U = uP/UP, при переносе эпюр скоростей с плоскости
ху, где им соответствует зависимость U = cxm, в плоскость уРХр и
построении там зависимости Up=cPxPP подобие эпюр не нарушается, так как
происходят лишь пропорциональные изменения по оси абсцисс. В частности,
соотношения различных толщин, таких как Я, при этом переносе сохраняются,
и представленные на рис. 108 эпюры скоростей в виде зависимости ujU =
g{Y, Н) тождественны для двух- и трехмерных случаев. Следует заметить,
однако, что абсолютные величины толщин пограничного слоя не сохраняются,
например Ь2Р =
88. Приближенные методы решения для установившихся потоков. Вообще
проблемы пограничного слоя не могут быть сведены к решению обыкновенного
дифференциального уравнения. Математически изящный метод решения
уравнений двухмерного пограничного слоя в частных производных,
предложенный впервые Блазиусом и развитый впоследствии К. Хейменцом и Л.
Говардом, выражает распределение скорости степенным рядом по длине дуги
вдоль границы с коэффициентами, представляющими универсальные функции
ортогональных координат. Этот метод обладает тем преимуществом, что, раз
затабулиро-вав универсальные функции, можно решать любые двухмерные
проблемы с помощью только арифметических выкладок. Недостатком этого
метода, однако, является то, что в случае медленной сходимости для
получения точного решения требуется большее число универсальных функций,
чем затабулировано. Тем не менее этот метод очень ценен для проверки
точности других более простых методов с меньшим приближением и
используется на практике для расчета первого участка ламинарного
пограничного слоя, тогда как следующие по течению участки рассчитывают
при помощи одного из имеющихся численных приемов получения
последовательных изменений профиля пограничного слоя. Хотя эти методы
являются действенными средствами решения проблем ламинарного пограничного
слоя, ограниченность объема настоящей работы не позволяет изложить их
здесь. Вместо этого рассмотрим метод решения, предложенный Вейгард-том,
считающийся лучшим из известных методов. В этом методе дифференциальное
уравнение- в частных производных также заменяется приблизительной
системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
При расчете пограничного слоя требуется определить эпюру скоростей, такие
толщины пограничного слоя, как толщину смещения и толщину количества
движения, касательные напряжения и точку отрыва. Большинство
приблизительных методов решения 312
= /Зв2.
проблем ламинарного пограничного слоя начинается с утверждения, что все
двухмерные и осесимметричные профили ламинарного пограничного слоя
принадлежат однопараметрическому семейству таких кривых, какие были
найдены, например, для безвихревого потока: U=cxm (см. рис. 108). При
таком утверждении отпадает необходимость в специальном нахождении эпюры
скоростей, поскольку она может быть определена как один из членов
семейства по величинам других характеристик. Так как каждый член
семейства эпюр скоростей обладает своим отношением Я = = 6i/62, то Н
может считаться параметром, изменения которого дают различные кривые
семейства. На этом основании Я называется профилирующим параметром,
характеристика которого определяет эпюру скоростей.
Следующий прием применим к двухмерным или осесимметричным пограничным
слоям. Предположим, что выбрана такая эпюра ламинарной скорости:
-?- = g<y,H), Y = j~.
U ог
Тогда #32= и Д являются функциями Я. Другой функцией *2
Я является
dg(O.fl)
dY
или
pi!
Рассмотрим использование метода для осесимметричного потока, так как
двухмерный является его частным случаем. При 6|/(xv) и a = xU'/U
уравнение количества движения (226) может быть записано в форме
х ? + \ 1 4- - sin 0+ (3+ 2Н)\й L Го
I = 2 Е, (241)
а уравнение энергии (227) становится таким:
xg + 2х /j + 2х sjn0 + 5 \ ? = 4Л, _ (242)
И 32 йп \ Го / п 32
Иная форма уравнения (242) получается исключением t из
равенств (241) и (242)
- хН' = со F (Я) + -1 G (Я), (243)
где
р __ Ч за (Я 1) _ q 8 Я за 2Д
' ~ dHsi/dH ' _ dH32/dH
313
Равенства (241) и (243)-одновременно обыкновенные дифференциальные
уравнения для ? и Я как функции х.
С целью получения численного решения этих равенств для некоторых
двухмерных или осесимметричных форм предполагают, что распределение
скорости у тела известно из решения для потенциального потока или по
