Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
В этом случае уравнение количества движения по отношению к б2(х) может
считаться линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Тогда:
где С - постоянная интегрирования.
Пример 26. Определить зависимость СЧ от числа Рейнольдса Re*, принимая
для распределения скоростей закон 1/7, приближенную формулу Блазиуса для
6 = 0,37 х и распределение скоростей вне пограничного слоя
U=U0
th x/L. Влиянием турбулентных пульсаций пренебречь.
Значение С получается прямой подстановкой в уравнение количества
движения. Из закона 1/7 имеем:
jSj 1_ ^
6 " 8 ' 6 ~ 72 '
Отсюда #=6i/62 = 9/7 и 62 = 0,036 х Re",/S. Производя подстановку в
уравнение количества движения, получаем
- - / х \
С. = 0,0288 Rer 5 (1 + 8,2 - csch - ) .
В. Ламинарные пограничные слои
86. Решения для установившихся двухмерных потоков.
Решение простого, но тем не менее важного случая установившегося
двухмерного ламинарного течения вдоль плоской продольно обтекаемой
пластины в равномерном потоке было первым значительным приложением теории
пограничного слоя. Эта проблема была затронута Прандтлем в его
оригинальной статье, а позднее была полностью решена Блазиусом, одним из
учеников Прандтля. Возможность точного решения уравнения пограничного
слоя в этом случае объяснялась тем, что эпюры скоростей и(у) имеют
одинаковую форму при всех числах Рейнольдса, т. е.
u=UF(yl6). Фолкнер и Скен доказали, что решение Блазиуса
является одним из многочисленного класса точных решений уравнений
пограничного слоя при подобных эпюрах скоростей. Это семейство решений
имеет большое значение по трем причинам. Во-первых, в дополнение к
течению вдоль плоской пластины они описывают течение у передней точки
отрыва; во-вторых, они показывают влияние градиентов давления на эпюру
скоростей, что особенно интересно у точки отрыва; в-третьих, они служат
основой приближенного метода расчета пограничного слоя.
Потоки Фолкнера - Скена - это те, для которых величина U, равная схт при
с и т постоянных, есть скорость у внешнего края
301
пограничного слоя. Безвихревой поток с таким скоростным распределением
остается безвихревым и вблизи точки отрыва у остроугольного двухмерного
тела с половинным углом при вершине
0 =-. (232)
Для плоской пластины 0 = т = О, для тела тупоугольной фор-
1 п я
мы пг = 1; 0= -.
2
Вместо непосредственной подстановки выражения U-cxm в уравнения
пограничного слоя и решения их полезнее сначала решить уравнения, дающие
подобные эпюры скоростей и = - UF(yf60), где б0 пропорционально б.
Уравнение неразрывности [равенство (207)] указывает на существование
такой функции тока ф(х, у), для которой u = dty/dy и v = -dip/dx;
выраженное через эти члены уравнение для установившегося потока (212)
приобретает вид
дф д2ф _ <У_Ф_ = у dU_ ^ Щф 3
ди дх ду дх ду2 dx ду3
Но
Отсюда
it
ф = j udy = U б0 f (р), где г) = у/60
6
/ Сч) = j F (ч) d4-
-g-=(e0t/'+6;c/)/-e;c/rir;
= иf'\ f" + UT;
ду дхду S0
Уф _ Uf" _ _ UT_
дуг S0 ' dy- 65
где
g, d So dU df
0 dx ' dx dr1 '
jl d?f_ ^ ry// d~jf
drf dt]3 *
Тогда равенство (233) преобразуется:
i бгг/ biu
Г + - (6-2 ur + б0 б; и) tf" -- iff + -V- = o.
302
Так как т] и х - независимые переменные, то это равенство указывает, что
i ( &>U'+ 6060U) = Cj; М- = т, (234)
где С) и т - постоянные.
Отсюда получается
~V ' ix (W = 2с> "т и б"= (2с~/7г)"77 •
Это показывает, что vx/U, поэтому можно принять
2с\ - пг= 1 и, следовательно г\ = уУ U/vx. Наконец, подстановка
найденного значения для бц во второе уравнение (234) дает xU' = mU и U =
cxm. Это доказывает, что лишь потоки Фолкнера - Скена приводят к подобию
эпюр скоростей. Дифференциальное уравнение для f (ц) получает такой вид:
Г + nLY~ ff" - mf'2 + т = 0. (235)
Граничные условия u = v = 0 при у = 0 и и- U при и= со дают
f(0) =Г(0) =0; Г(со) = 1.
Очевидно, что ДЛЯ подобных эпюр скоростей проблема сводится к решению
обычного дифференциального уравнения, а не уравнения в частных
производных. Точный интеграл уравнения (235) не был найден. Поскольку
метод получения решения является типовым для расчетов пограничного слоя,
он будет представлен детально для случая плоской пластины (т = 0), для
которой уравнение (235) получает такой вид:
//" + 2 Г = 0. (236)
Решение в виде степенного ряда есть первое приближение: / (ц) = а0 + ах
г] + т]2 -f -J T]3-j-.
Затем
f (n) = ai + а.2ц + ~ rf + rf-i .
Граничные условия при ц = 0 дают a0 = ai = 0. При подстановке степенного
ряда в уравнение (236) имеем
2а3+ 2а4 т] -J- (а\ + 2а5) -f (4а2а8 + 2ав) ^3-------= 0,
откуда, приравнивая коэффициенты последовательных степеней 1] нулю,
получаем серию равенств
о3 = а4 =. ав = а7 = ая = а10 = • • • = 0
303
и
Отсюда, если принять а2 = Х, решение уравнения (236) мож-быть написано в
такой форме:
где о=1; с, = 1; с2 = 11; 0 = 375; с4=27897; с5=3817137, ....
Величина X должна быть выбрана так, чтобы удовлетворит граничное условие
f'( оо) = 1. Положив / = ф(-р) при Х,= 1, т.
Таким образом, в принципе X может быть определена вычислением Ф'(т}) по
