Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
замерам. Кроме того, вблизи точки отрыва пограничный слой характеризуется
одной из подобных эпюр скоростей, приведенных на рис. 108, значения т для
которых в двухмерном или осесимметричном потоке приведены в виде
зависимости от угла при вершине [равенство (232)] или в табл. 4. Решения
остаются точными до длины дуги х, где отклонения распределения скорости
от первоначальной формы, выраженной зависимостью U = cxm, становятся
ощутимыми. Величины ?о и #0 на этом участке могут служить начальными
.условиями для двух дифференциальных уравнений.
Для численного решения уравнений (241) и (243) может быть использован
один из известных методов. Приближенным, но простым приемом
последовательного решения дифференциальных уравнений является следующий.
Выберем малый интервал Ах, в котором различные функции, входящие в
равенства (241) и (243), могут считаться постоянными. Затем, заменяя на
(ui - Со)/Лх и Н' на (Н\ - Я о)/Ля, где х=х0, получаем из уравнений (241)
Кривые F(H), G(H) и Е(Н), определенные для семейства подобных эпюр,
приведены на рис. 109. Пользуясь этими кривыми, по уравнениям (244) можно
вычислить последовательные значения Я, С и отсюда 62. Значения других
характеристик пограничного слоя, соответствующие этим Я, могут быть
определены затем по рис. 107 и 108,
89. Неустановившиеся пограничные слои. До сих пор рассматривались
пограничные слои установившихся потоков. Хотя они включают большинство
практически интересных случаев, развитие пограничного слоя вдоль
поверхности, движущейся с ускорением по отношению к жидкости, также
важно, так как отделение или отрыв при ускорении может произойти раньше,
чем при установившемся движении с той же средней скоростью.
и (243):
Ei = Со + - (2Яо- 1 + - sin 0 + (3 + 2Я0) ш0 d
Хо I . rQa J )
и
или в общем виде
и
(2Еп - [ 1 + -sin 0" + (3 + 2 Я") to J d
I L ron j )
(244)
314
В предыдущих выводах уравнений пограничного слоя время было включено, как
одна из независимых переменных. Очевидно, что задачи, в которых эта
добавочная переменная должна быть учтена, решить труднее. Приближенные
решения были получены методом последовательных приближений. Этот метод
был применен к телам, выводимым из состояния покоя импульсивно или с
постоянным ускорением, и к телам, подвергаемым периодическим
перемещениям. В каждом случае этот метод дает ряд дифферен-
?
?
0.3
"у
0.2
0,1
О
2,0 2,2 2,4 2,5 2,8 3J)
И
Рис. 109. Вспомогательные функции для расчета пограничных слоев
циальных уравнении в частных производных, напоминающих уравнения
теплового потока, решение которых становится все более и более
трудоемким. Метод может быть проиллюстрирован значительным увеличением
пограничного слоя на цилиндре, импульсивно выведенном из состояния покоя.
Уравнения двухмерного пограничного слоя имеют вид:
ди . ди . ди ,, d(J . д2и
- -и Ь V = и Ь v ;
dt дх ду дх дуг
- +- =0. дх ду
Граничные условия: ы = о = 0при у = 0, u=U(x, t) при у=со,
где U(x, /) = 0 для t<0 и U(x, t) - U{x) для t>0 [здесь U{x) -
распределение скорости вдоль границы в установившемся безвихревом
потоке]. Так как движение начинается с нулевой скорости, пограничный слой
вначале очень тонок и фактически может рассматриваться как вихревой слой
на твердой границе. Следовательно, касательные напряжения у стенки
сначала очень велики,
315
а так как компоненты давления UdUfdx и конвекции в ускорении имеют тем не
менее нормальные величины, то, очевидно, касательные напряжения должны
примерно уравновешиваться неустановившимся компонентом ускорения du/dt.
Группировка главных членов в одной стороне равенства дает итерационные
формулы
где п= 1, 2, 3,...; граничные условия un = vn = 0 при у=0 и ы" = = U(x)
при у=со.
Первое из равенств (245) идентично одноразмерному уравнению теплового
потока, которое рассматривалось в главе V. Его решение имеет вид:
Значение и\ определяется из первого равенства (246) подстановкой в его
правую часть полученных выражений о0 и щ.
Если принять, что значение Ui имеет вид
ди0 v д*и0 Q
-\л >
dt ду2
ди0 ду0
дх ду
(245)
и
дип
dt
- v
(246)
дип . дуп
У"п I п
дх ду
и0 = и (х) erf ?,
где
о
Из второго равенства (245) получается
ve = -2 У vt Г ^ erf g ^r(l -е е)1.
dx VT J
u^Up + tU-^fd), dx
(247)
то оказывается, что
/" + 21Г - 4/ = 4 Г erf* g 2- g<T5'erf g- 1 +
Vn
Я
316
Решение этого равенства дает
f = ± (25*- 1) erf2 ^ ЬГ* erf fc+
2 Уя
+ 1 e~e + - <T2*+ a (2|2 + 1) +
Зя ~V я
(2f + 1) erf I + le~^ ] ,
где а и b, выбраные для удовлетворения граничных условий f=О при |=0 и ?=
оо, имеют значения
°--(1 + ^) = -''21221-;
1 Л , 4
|/я
(1 + TSr) = 0'80364-
Отрыв потока от стенки произойдет там, когда ди/ду - 0 при у = 0, т. е.
когда ди/д%=0 при | = 0. Из равенства (247) получается в первом
приближении для времени Т, через которое произойдет отрыв
1 + (l + -)--Г = 0.
I Зя / dx
Отрыв начнется, когда dU/dx достигнет своего наибольшего отрицательного
значения, т. е.
г _ 0,702
* МИН , J.,
