Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
количества движения очень чувствительно; второе - в соседстве с точкой
отрыва: значения ряда членов уравнения количества движения, обычно
опускаемых в уравнении пограничного слоя, здесь перестают быть
пренебрежимо малыми. Последнее предположение привело к опубликованию
нескольких длинных выводов уравнений количества движения из полных
уравнений Рейнольдса. Вывод более точного выражения здесь можно было
упростить, так как члены, дающие значительную поправку к интегралу
уравнения количества движения, уже были введены в уравнения пограничного
слоя.
Уравнение энергии. Уравнение энергии установившегося потока, как показал
Вейгхарт, может быть получено умножением равенства (217) на и и
интегрированием полученного выражения по толщине пограничного слоя. Таким
образом:
dAt I н + 2 dU ... _
"dx U dx 2 = 2
j'(u*-x/*)dy, (218)
О
где
Но
iL iff!
2 ' dy
dy =
J 2 dy ^ 2 J
U2 + и du
2 dx
dy.
Тогда
о
I
- du2 , -duv
U---------У U -=-
^ dy
dx
dU
¦UU -Г-dx
dy
Также
\.±[u{lP^)dy.
f u^dy = u^ -f(^)2dy =
J dy2 * dy .){ dy I
о 0
- - KU2
¦Jffb
du \2 dy
dy
0___________
- du'v' , -
u dy = и и v
dy
' du ,
uv - dy
dy
, , du ,
u v -- dy.
dy
0 0 0 0 Отсюда интеграл энергии может быть записан так:
б2 d vU2' dx
(U3 63) = 2Д + Г ы А (и'2 - v'2) dy,
vLa ,) dx
(219)
где
A = Г т - dy, х = u, - рu'v'. yU2 .! ду а' * ду
ди
Интеграл в равенстве (219) также является поправкой к обычной форме
уравнения. Следует заметить, что как уравнение количества движения, так и
уравнение энергии имеют форму обычных линейных дифференциальных уравнений
первого порядка, что используется в нескольких приближенных методах
решения проблем пограничного слоя.
295
84. Осесимметричный поток на поверхности вращения. Для
поверхности вращения уравнения пограничного слоя лучше всего вывести,
используя ортогональные координаты, параллельные и перпендикулярные
данной поверхности. Радиальное расстояние от оси вращения до данной
поверхности обозначается через fo(x), где х - длина дуги вдоль части
поверхности в меридианной плоскости, проходящей через ось, а г -
радиальное расстояние до произвольной точки. Поверхности x = const и у=
=const представлены поверхностями вращения, сечения которых в меридианной
плоскости соответствено перпендикулярны и параллельны данной поверхности.
В качестве третьей ортогональной координаты может быть принят
азимутальный угол у в меридианной плоскости. Величина К(х) представляет
кривизну данного меридианного профиля. Тогда, как показано в приложении
из рис. 104 видно, что
Нг = 1 + Ку, /?2 = 1, ha = г и г = г о + у cos ft,
где # - угол между осью симметрии и касательной к данному профилю.
Отсюда следует, что
дг , . " дг
Рис. 104. Ортогональные координаты для поверхности вращения
к = ~~-,
ах
йгц
dx
= sur
дх
- hi sin# и
ду
= COS#.
Методика получения уравнений пограничного слоя подобна применявшейся в
случае двухмерного потока. В приложении получено уравнение неразрывности
д(ги) d(/it п>) djhjW) = 0 ,22q,
дх ду ду
Так же из приложения получаем компоненты ускорения подобно тому, как это
было сделано для двухмерного потока:
= + -L(h*ruv)+ ±.*W;
Dt dt hs dx h^r dy ' r dy
Dv = dv_ , L d (ruv) . _J_ _3_ " ^ d(vw) _ Ku*
Dt dt hxr dx hir dy 1 ^ r dy ftj
296
Отсюда, производя подстановку и = и + и' и v - v + v' и осред-няя,
получаем для уравнений Рейнольдса
ди
~дГ
hir дх L v
+ U'2)} + ^ .~[h]r{~uv + u'v')] =
hi г
1
p/ii
+
др_
дх
_1_
hi
sin O'
1
h\
у dK \ ди
д2и К
дх2 hi
ду
ди
ту
д ! ди - г - ду V ду
+
-ь
dv
dt
X
1
hit
ди
+
dK
dx
hi
2 К
~hj '
УК
dx j dx
dx
[r (uv
К /-2 (и
hi
1 dv hi dx
u'2) = - - P
dv
~dx
dK_
dx
uV)] 1
K*
+ '
К sin ft h^
sin 2ft 2 r*
-i- . ~ [hit (v2 +гЛ)| - hir dy
К
dp
dy
dX
dx
J_ d2v ft? ' dx2
dv
dy
cos ft
d2v dy2
hi I
2 К
hi
du
dx
sin 2ft 2 r*
dK
dx
- / K2 V
hi
УК
dK
dx
К sin ft hir
cos2 ft
Проверка относительных величин различных слагаемых может быть выполнена,
как и ранее, путем введения безразмерных переменных. Так как б может
достигнуть величины того же порядка, что и г, если граница, вдоль которой
происходит движение, достаточно длинна, то необходимо сохранить
добавочные члены, содержащие г. Таким образом, вышеприведенные равенства
сводятся к следующим:
д (ги) д (то)
дх
ду
0;
ди д ( ги2) , д (ruv2) 1
dt г дх г dy Р
V д (г д~" 'l - и sin2 ft ] д (ги'*)
г . ду \ ду ) г J г дх
др
дх
+
д (ru'v') г ду
20-1459
(221)
(222
297
ду
г ду
2 г2
где члены Ки и vu sin 20/2г2 сохранены потому, что они становятся
доминирующими при ламинарном движении. Интегрирование уравнения (223) с
достаточной точностью дает
Л
Р
U2 Эф
2 dt
д (ги'2) г ду
dy.
(224)
В результате подстановки равенства (224) в выражение (222) получим
ди ^ д (ги2\ д (ruv) dU
dt ' г дх г ди dt 1 дх
+ ¦
д аи ду \ ду
и sir
г ду д (ги72)
d(ru'v') 1 д C'd(rv'2) Эх J
г дх
гду
дхJ гду у
-dy
(225)
Уравнения (221) и (225) представляют собой уравнения пограничного слоя,
