Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
-гг)
\ ил макс
Пример 27. Показать, что, если и(х, у) и v(x, у) решения уравнений
двухмерного ламинарного пограничного слоя, и*=(х, у, t) = u(x, у, t) и
v*(X, у, /) = = v(x, у, t)-f'(x)u(x, у, t) также являются их решениями
при условии, что y=y-\-f(x), где f(x)-произвольная аналитическая функция.
Вышеприведенное свойство напоминает конформные преобразования в том
отношении, что позволяет получить решение уравнений пограничного слоя
преобразованием известного. Функция f(x) должна быть того же порядка, что
и б(лг). Задача может быть сформулирована так. Функции и(х, у), v(x, у)
удовлетворяют уравнениям:
ди ди ди dU dll д2и
- и -- + v -- = -- U + v ¦
dt дх ду dt дх ду2
Требуется показать, что
ди dv
"Зг- = (r)'
дх ду
ди* ди* ди* dU* dU*
I I _.Л I т г*
Из определения и*, v* к у получаем
ди* ди dU* dU ди* ди
dt dt dt dt ду ду
дги* д2и
ду-
ду1
Г ди* (х, у) дх
ди(х, у) ди{х, у)
дх ду
ду
дх
ди ди
Jx + ~Wf {Х)'
где черточка показывает, что значение у остается постоянным при
дифференцировании, a f'(x) обозначает производную от f(x). Подобным
образом можно получить
dU* dU dU " , dU
~ 1Г (¦*)- л 1
дх дх ду дх
так как в соответствии с уравнением (215) член j'dUjdy имеет тот же поря
док, что б, к поэтому им можно пренебречь. Так же
dv* dv ди
ду ду ^ ^ ду
При этих значениях частных производных уравнения для и* и V* приобретают
вид:
ди
~дГ
ди ди \ ди dU dU д2и
+Г-= + (и - f'u)-- -+и +V- -
дх ^1 ду j ^К ду dl а䦦 дУг
ди ди ди
4- и !- t> -=т-
dt дх ду
dU dU
- + и -
dt дх
д*и
V -=,-
ду
ди dv
дх ду
¦¦ О,
что и требовалось показать.
Г. Турбулентные пограничные слои
90. Распределение средней скорости у стенки. Уравнения турбулентного
пограничного слоя содержат больше неизвестных, чем должно быть для
определенности решения. Было бы желательно по аналогии с ламинарным
движением использовать для получения приблизительного решения уравнения
количества движения и энергии, но условные напряжения, вызванные
турбулентными пульсациями скорости, вводят здесь также добавочные
переменные, так что решение становится неопределенным. Таким образом,
необходимо искать дополнительные соотношения, составленные на основании
опытов или некоторых подходящих гипотез. Наиболее признанной из них
является "закон стенки".
318
Обычно принимают, что распределение скорости в турбулентном потоке вдоль
гладкой стенки в ближайшей от нее части пограничного слоя зависит только
от плотности и вязкости жидкости и касательных напряжений у стенки. Это
допущение говорит о том, что на поток у самой стенки не влияют условия,
существующие на большом расстоянии от нее, в частности скорость
свободного потока и градиент давления. При этих обстоятельствах полное
касательное напряжение т = цди/ду- pu'v' почти постоянно вблизи стенки.
Применяя анализ размерностей к переменным и, у, т0, р и v, можно вывести
функциональную зависимость
- = /&*), (248)
их
где их - У То/р и у*= - Эта функциональная зависимость из-
вестна как внутренний закон или закон стенки. Очень тонкий слой у стенки,
где числа Рейночьдса пренебрежимо малы, называется ламинарным подслоем;
закон вязкости Ньютона здесь может быть записан в форме То = ц ujy или
"/ы, =у*. Закон стенки подтвержден экспериментально для потоков,
движущихся в трубах и вдоль поверхностей, с различными градиентами
давления. Соотношение / = у*, по-видимому, действительно до у* = 4. За
этим пределом находится область, в которой напряжения Рейнольдса и
вязкость становятся соизмеримыми величинами. Хама вывел приблизительное
аналитическое выражение для этой функции
2 Jl-VT
У 2а±=- jLIL=JLLtJ-+2 \ -=ё= , z = y2ay*. г з I г3 т J yjy^ri' V
Величина а = 0,114 соответствует экспериментальным данным. Интеграл,
появляющийся в формуле Хама, может быть оценен как эллиптический интеграл
первого рода. Графическая зависимость ы/Ыт от у* показана на рис. 110.
Из условия, что закон стенки должен согласовываться с уравнениями
пограничного слоя, вытекает интересное свойство средних линий тока в
турбулентном пограничном слое и указание на размеры области, в которой
можно полагать справедливым закон стенки. Подстановка в уравнение (207)
дает
JL[uzf(y*)] dy= - u[$(f + y*f')dy,
dttx p df
Т^их--1Г И / = Ту* Отсюда
"х J dy* *
уI \У*) ¦ (249)
319
Это показывает, что вдоль линии тока
dy v ихУ
dx и их
или
и'х ydx -\-uxdy = 0.
Но, так как dy* = (и'т ydx + ux dy)/v, очевидно, что у*, а значит
и и/их постоянны вдоль линии тока в пределах применимости закона стенки.
Это любопытное свойство первым заметил Колес.
о о,* о,в з,г /,б г,а г,* г,в з,?
к У*
Рис. 110. Закон стенки для плоской пластины / - Лауфер (труба Rex=5,00 ¦
10'); 2 - Лауфер (труба Re^ =5,00 ¦ 10s; 3 - Шульц-Грюнов (плоская
пластина Re^G^e ¦ 107); 4 - Шульц-Грюнов (плоская пластина Неж = 3,40 •
10'); 5 - Шульц-Грюнов (плоская пластина Rex=7,20 • 10s): 6 - Людвиг и
Тильман (плоская пластина Re;e=4,88- 10е)
Если вспомнить картину течения вдоль линии тока (см. рис. 100), входящей
