Механика жидкости - Рауз Х.
Скачать (прямая ссылка):
введением коэффициентов t= Ut/L, k = I(L, Cp=J/(pU2), u,2 = u'2jU2, v'2 =
v'2jU2 и uV = = u'v'L/(U2б). Здесь порядок величин членов нормальных
напряжений преувеличен для большей надежности в соответствии с пятым
допущением. Уравнение (205) может быть записано в безразмерном виде, если
все его члены умножить на LjU2. Тогда получается
-дг+ ^(й2 + и/Т) + Т~ (^ + и'у/) =
dt d? dr)
дСр , \L
dt]2 L ' >
где слагаемые в последней скобке не превосходят единицы. Отсюда, отбросив
все члены, содержащие 6/L, получаем уравнение пограничного слоя в
безразмерном виде
ди ди2 . d (uv) 1 др , д*и ди'2 du'v'
- -|---------u -X-L ----------------- +v - --------------, (208)
dt дх ду р дх дуг дх ду
и анологично из равенства (206)
Ки- . (209)
ду р ду
Здесь первый член в левой части значительно меньше второго, однако он
оставлен в уравнении, так как присутствует в ламинарном потоке.
Ламинарный поток. Интегрирование уравнения (209) дает
5
_Р_ р
о
- - ГKu2dy, (210)
р J
здесь Р/р - давление у внешнего края пограничного слоя, где поток принят
невязким. Выражение (210) удовлетворяет уравнению Бернулли
- - (211) р 2 dt 4
19*
291
Затем
р дх дх dt
1 др г, dU . dU
- . - = (7 -- -j--
+ ijKu4y.
Последний интеграл имеет тот же порядок, что и члены, отброшенные при
выводе уравнения (208), поэтому уравнения ламинарного пограничного слоя
можно записать так:
Так как изменение давления в пограничном слое, данное в уравнении (210),
очень мало, то в большинстве случаев можно считать, что р = Р. Более
точную форму наклона кривой давления в функции от у дает равенство (213).
При у = Ь выражение dp/dy=pKU2 и поэтому, подставив вместо р его значение
по формуле (211), получим наклон кривой распределения скорости в
установившемся потоке
Равенства (212) и (214)-два уравнения в частных производных двух
зависимых переменных и и и. Они подобны точным уравнениям Навье - Стокса
в том смысле, что и те и другие нелинейны. Однако эти равенства имеют и
существенное отличие, заключающееся в отсутствии в них слагаемого
vd2ujdx2, что превращает равенство (212) из дифференциального уравнения
эллиптического типа в уравнение параболического типа, в общем случае
гораздо более легко решаемое и более удобное для численной аппроксимации.
Турбулентный поток. Интегрирование уравнения (209) дает
у
что можно принять вследствие малости интеграла. Тогда из равенств (208) и
(211) получим
ди . д (иг) . д (uv) dU
-------1-----;------1------г- =
dt дх ду dt
дх ду
(214)
(213)
(215)
^-=-- \Ku2dy - v'2 Р Р J
Р
Равенства (207), (209) и (217) представляют собой уравнения турбулентного
пограничного слоя. В противоположность уравнениям ламинарного потока этих
равенств недостаточно для получения решения из-за появления добавочных
зависимых переменных в виде рейнольдсовых напряжений. Для решения
требуется дополнительная связь между рейнольдсовыми напряжениями и
осредненной скоростью, но, к сожалению, достаточно разработанной теории
турбулентности, на которой эта связь могла бы базироваться, еще не
имеется. Пока что в качестве полуэмпирической теории для получения
недостающих связей служат некоторые гипотезы подобия, приведенные в части
Г.
Уравнение количества движения. Уравнения количества движения для
установившегося среднего потока могут быть получены интегрированием
выражений (212) и (217) по всему пограничному слою. Так как уравнения
турбулентного потока при изчезновении пульсаций скорости сводятся к
уравнениям ламинарного потока, рассмотрим только этот первый случай. По
уравнению (215), которое пригодно для турбулентного пограничного слоя,
если турбулентность свободного потока пренебрежимо мала,
I а,' " ду I и р№/ р
О О
где то - касательное напряжение на стенке, а число Рейнольдса U/(vK)
очень велико. Так же по уравнению (207)
J ^ dy = Uv (б) = | U jL dy = - f U ^ dy
0 0 0
5
Г - и' v' dy = u'v' .) ду
о
= 0.
Тогда интеграл равенства (217) может быть записан в виде
{\ и - (U- и) + - (U - и) + - (U - и) J ! дх дх dx
dy =¦
р
о
или d_ С-
dx
-{u{U - u)dy + ~\(U~u)dy= - + -^i (и'2- t/2) dy. J dx J p dx .!
0 0 0
293
Вводя обозначения толщин смещения и количества движения, приводим
последнее равенство к виду
Равенство (218), представляющее собой уравнение количества движения,
впервые было выведено Карманом, правда без поправочного члена,
выраженного последним интегралом. До недавнего времени слагаемыми
нормальных напряжений как в уравнениях пограничного слоя, так и в
уравнении количества движения обычно пренебрегали. Однако было найдено,
что приближенное уравнение количества движения дает аномальное
возрастание касательного напряжения у стенки при достижении точки отрыва
вместо ожидаемого уменьшения этого напряжения до нуля. Существует два
объяснения этого недостатка уравнения количества движения. Первое
заключается в том, что двухмерные образования, дающие этот аномальный
эффект, подвержены слабым трехмерным возмущениям, к которым уравнение
